procyberВестник кибернетикиProceedings in Cybernetics1999-7604Бюджетное учреждение высшего образования Ханты-Мансийского автономного округа – Югры «Сургутский государственный университет»10.35266/1999-7604-2026-1-10procyber-748Research ArticleФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИPhysics and MathematicsОбобщение кодов Уолша – АдамараGeneralized Walsh–Hadamard codeshttps://orcid.org/0000-0003-0661-337XБеспаловМ. С.BespalovM. S.

Doctor of Sciences (Physics and Mathematics)

https://orcid.org/0000-0001-8691-8151ФроловК. А.FrolovK. A.

Employee

golegoga33rus@gmail.comВладимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых (ВлГУ), ВладимирРоссияVladimir State University, VladimirRussian FederationАО «НПП «Исток» им. Шокина», ФрязиноРоссияJSC “RPC “Istok” named after Shokin”, FryazinoRussian Federation202613042026251101108Copyright © Беспалов М.С., Фролов К.А., 20262026Беспалов М.С., Фролов К.А.Bespalov M.S., Frolov K.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.vestcyber.ru/jour/article/view/748

Предлагается усовершенствование кодов Уолша – Адамара, дополненного кода Уолша и p-го варианта кода Уолша – Адамара, в виде матричного шифрования кодовой матрицей. Показано, что усовершенствование не влияет на процесс обнаружения и исправления ошибок. Разработаны алгоритмы декодирования по кодовой матрице как дополнение к декодированию по списку. Приведен пример, демонстрирующий, что в p-ном случае метод работает с ошибками разных типов: замещения, стирания и появления символа.

 

  

The paper proposes an optimization method of the Walsh–Hadamard codes, the augmented Walsh code and the p-ary Walsh–Hadamard code, via matrix encryption by a code matrix. The study shows that the upgrade does not affect the process of error detection and correction. Decoding algorithms using code matrices are developed as an addition to list decoding. In the p-ary case, the authors demonstrate the efficiency of the optimization method in handling errors of different types such as substitution, erasure, and appearance of a symbol.

 

  

блочное кодированиекод Уолша – Адамарадополненный код Уолшакод Рида – Маллералинейная перестановкаконечное полеblock codingWalsh–Hadamard codeaugmented Walsh codeReed–Muller codelinear permutationfinite fieldReferencesБеспалов М. С., Фролов К. А. Кодирование информации линейными перестановками дискретного преобразования Уолша // Вестник кибернетики. 2024. Т. 23, № 3. С. 90–95.Беспалов М. С., Фролов К. А. Кодирование информации линейными перестановками дискретного преобразования Уолша // Вестник кибернетики. 2024. Т. 23, № 3. С. 90–95.Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М. : Связь, 1979. 744 с.Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М. : Связь, 1979. 744 с.Heng I., Cooke C. H. Error correcting codes associated with complex Hadamard matrices // Applied Mathematics Letters. 1998. Vol. 11, no. 4. P. 77–80.Heng I., Cooke C. H. Error correcting codes associated with complex Hadamard matrices // Applied Mathematics Letters. 1998. Vol. 11, no. 4. P. 77–80.Кузнецов Ю. В., Шкарин С. А. Коды Рида – Маллера (обзор публикаций) // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М. : Наука, 1996. С. 5–50.Кузнецов Ю. В., Шкарин С. А. Коды Рида – Маллера (обзор публикаций) // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М. : Наука, 1996. С. 5–50.Беспалов М. С. Собственные подпространства дискретного преобразования Уолша // Проблемы передачи информации. 2010. Т. 46, № 3. С. 60–79.Беспалов М. С. Собственные подпространства дискретного преобразования Уолша // Проблемы передачи информации. 2010. Т. 46, № 3. С. 60–79.Беспалов М. С., Скляренко В. А. Дискретные функции Уолша и их приложения. Владимир : Изд-во ВлГУ, 2014. 68 с.Беспалов М. С., Скляренко В. А. Дискретные функции Уолша и их приложения. Владимир : Изд-во ВлГУ, 2014. 68 с.Малоземов В. Н. Линейная алгебра без определителей. Квадратичная функция. СПб. : Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1997. 80 с.Малоземов В. Н. Линейная алгебра без определителей. Квадратичная функция. СПб. : Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1997. 80 с.Delsarte P., Goethals J. M. Tri-weight codes and generalized Hadamard matrices // Information and Control. 1969. Vol. 15, no. 2. P. 196–206.Delsarte P., Goethals J. M. Tri-weight codes and generalized Hadamard matrices // Information and Control. 1969. Vol. 15, no. 2. P. 196–206.Беспалов М. С. Дискретное преобразование Крестенсона // Проблемы передачи информации. 2010. Т. 46, № 4. С. 91–115.Беспалов М. С. Дискретное преобразование Крестенсона // Проблемы передачи информации. 2010. Т. 46, № 4. С. 91–115.Abbe E., Shpilka A., Ye M. Reed-Muller codes: Theory and algorithms // IEEE Transactions on Information Theory. 2020. Vol. 67, no. 6. P. 3251–3277.Abbe E., Shpilka A., Ye M. Reed-Muller codes: Theory and algorithms // IEEE Transactions on Information Theory. 2020. Vol. 67, no. 6. P. 3251–3277.Key J. D., McDonough T. P., Mavron V. C. Reed-Muller codes and permutation decoding // Discrete Mathematics. 2010. Vol. 310, no. 22. P. 3114–3119.Key J. D., McDonough T. P., Mavron V. C. Reed-Muller codes and permutation decoding // Discrete Mathematics. 2010. Vol. 310, no. 22. P. 3114–3119.Barrolleta R. D., Villanueva M. Partial permutation decoding for binary linear and Z4-linear Hadamard codes // Designs, Codes and Cryptography. 2018. Vol. 86, no. 3. P. 569–586.Barrolleta R. D., Villanueva M. Partial permutation decoding for binary linear and Z4-linear Hadamard codes // Designs, Codes and Cryptography. 2018. Vol. 86, no. 3. P. 569–586.Bernal J. J., Simón J. J. New advances in permutation decoding of first-order Reed-Muller codes // Finite Fields and Their Applications. 2023. Vol. 88.Bernal J. J., Simón J. J. New advances in permutation decoding of first-order Reed-Muller codes // Finite Fields and Their Applications. 2023. Vol. 88.Bernal J. J., Simón J. J. Permutation decoding of first-order generalized Reed-Muller codes // Journal of Algebra and Its Applications. 2025. https://doi.org/10.48550/arXiv.2509.11757.Bernal J. J., Simón J. J. Permutation decoding of first-order generalized Reed-Muller codes // Journal of Algebra and Its Applications. 2025. https://doi.org/10.48550/arXiv.2509.11757.Li Z., Lin S.-J., Hu H. On the arithmetic complexities of Hamming codes and Hadamard codes // Journal of Latex Class Files. 2018. https://doi.org/10.48550/arXiv.1804.09903.Li Z., Lin S.-J., Hu H. On the arithmetic complexities of Hamming codes and Hadamard codes // Journal of Latex Class Files. 2018. https://doi.org/10.48550/arXiv.1804.09903.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.