При построении математических моделей регрессионного типа исследователи часто эффективно используют различные нелинейные формы связи между независимыми переменными, в том числе кусочно-линейные. Так, в работе [1] рассматривается робастная модель кусочно-линейной регрессии с неизвестным количеством точек переключения. Статья [2] посвящена методу оптимизации невыпуклой кусочно-линейной модели многомерной регрессии, адаптированной для решения проблемы проектирования системы безопасности для крупного автопроизводителя США и решенной с помощью метода ветвей и границ. В [3] представлена процедура автоматической спецификации моделей, основанных на предположениях об аддитивности и кусочно-линейности. Эта процедура позволяет аналитику получить представление о проблеме при исследовании автоматически выбранной модели, что позволяет легко проверить достоверность прогноза. В работе [4] предлагается использовать нечеткую кусочную регрессионную модель как развитие традиционной логистической модели. Предлагаемый метод способен не только обнаруживать точки переключения, но и определять прогнозируемые интервалы, когда на тенденцию роста анализируемого поколения продуктов влияют другие поколения. Для демонстрации эффективности предлагаемой модели используются рыночные доли четырех телевизионных технологий. Результаты показывают, что предложенная модель превосходит логистическую модель, обеспечивая как лучшие, так и худшие возможные доли рынка для соответствующего поколения, а также определяя время воздействия внешних воздействий путем выявления точек переключения.

Целью исследования [5] является применение кусочно-линейной аппроксимации (КЛА) в качестве метода анализа тенденций, который учитывает структурные сдвиги. КЛА использует полные данные для одновременной оценки контрольных точек и постоянно связанных тенденций непосредственно до и после перерыва. Таким образом, КЛА не только обеспечивает простоту интерпретации результатов, но и исключает вероятность неверных заключений за счет однозначного определения текущей тенденции, что делает расчетный результат надежным. Тематическое исследование подтверждает предположение о том, что тенденции продаж некоторых продуктов и необходимость определения подходящего временного интервала для анализа данных претерпевали изменения по крайней мере один раз. Статья [6] посвящена разработке алгоритма решения задач построения многомерной регрессии и классификации с использованием кусочно-линейных предикторов над многогранным разбиением пространства признаков. В работе [7] изучается частично линейная аддитивная регрессия с пространственными данными. Разработана новая процедура оценки неизвестных параметров и аддитивных компонентов регрессии. Предложенный метод подходит для данных большой размерности, нет необходимости решать ограниченную задачу минимизации, не требуются итерационные алгоритмы. В мягких предположениях регулярности установлено асимптотическое распределение оценки вектора неизвестных параметров, а также получены асимптотические распределения оценок неизвестных функций. В работе [8] рассмотрены методы построения цензурированной регрессии, которые обеспечивают мощный и гибкий подход к анализу данных о выживаемости, когда считаются подходящими, в частности стандартные линейные модели. Исследование [9] посвящено способам построения кусочно-экспоненциальных моделей. Широка практическая направленность применения кусочно-линейных регрессий, они, в частности, используются при прогнозировании чрезвычайных ситуаций [10], оценке состояния технического объекта [11], анализе данных испытаний скважин [12].

Пусть при исследовании анализируемого объекта исследователь полагает, что на выходной фактор (зависимую переменную) у оказывают влияние входные факторы (независимые переменные) x1, x2,…, xm, т. е. исходит из наличия регрессионной связи:

yk = F(a; xk1, xk2,…, xkm) + εk, k = 1,n,

где k – номер наблюдения,

n – их количество,

F – аппроксимирующая функция,

a – вектор параметров,

ε – ошибки аппроксимации, при этом будем исходить из отсутствия какой-либо информации об их вероятностной природе, как это и принято в рамках логико-алгебраического подхода к анализу данных.

В работе [13] введены в рассмотрение так называемые вложенные кусочно-линейные аппроксимирующие функции первого и второго типов:

– вложенная кусочно-линейная регрессия первого типа:

yk = min{mini∈I1{ai1 xki},..., mini∈IG{aiG xki}, maxi∈J1{βi1 xki},..., maxi∈JH {βiHxki}} + εk; – вложенная кусочно-линейная регрессия второго типа: yk = max{mini∈I1{ai1 xki},..., mini∈IG{aiG xki}, maxi∈J1{βi1 xki},..., maxi∈JH {βiHxki}} + εk, где наперед заданные индексные множества Ii, i = 1,G, Ji, i = 1,H представляют собой подмножества множества {1, 2, …, m} и могут иметь непустые попарные пересечения. В [14] приводятся, в частности, некоторые возможные конкретизации вложенных кусочно-линейных регрессий, в том числе простая вложенная кусочно-линейная регрессия: yk = min{mini∈I{ai xki}, maxi∈J{βi xki}} + εk , (1) Наконец, в работе [15] описан алгоритмический способ идентификации параметров модели (1) с помощью метода наименьших модулей (МНМ), состоящего в решении задачи: Σnk=1|εk| → min. (2)

В [15] показано, что задача (2) может быть сведена к задаче линейно-булевого программирования (ЛБП). Действительно, введем следующие обозначения:

hk = mini∈I{ai xki}, k = 1,n,

gk = mini∈J{βi xki}, k = 1,n,

tk = min{hk gk}, k = 1,n.

Тогда задача оценивания параметров эквивалентна следующей задаче ЛБП:

hk ≤ ai xki, k = 1,n, i∈I, (3)

ai xki – hk ≤ (1 – ski)M, k = 1,n, i∈I, (4)

Σi∈J ski = 1, k = 1,n, (5)

gk ≥ βi xki, k = 1,n— , i∈I, (6)

βi xki – gk ≥ (ρki – 1)M, = 1, k = 1,n, i∈J, (7)

Σi∈J ρki = 1, k = 1,n, (8)

tk ≤ hk , k = 1,n, (9)

tk ≤ gk , k = 1,n, (10)

hk– tk + Mrk ≤ M , k = 1,n, (11)

gk– tk – Mrk ≤ 0 , k = 1,n, (12)

tk+ uk – vk = yk, k = 1,n, (13)

uk ≥ 0, vk ≥ 0, hk ≥ 0, gk ≥ 0, tk ≥ 0, k = 1,n, (14)

ski∈{0,1} k = 1,n, i∈I, (15)

pki∈{0,1} k = 1,n, i∈I, (16)

rki∈{0,1} k = 1,n, (17)

Σnk=1(uk+vk) → min. (18)

Заметим, что для недопустимости получения бессмысленного результата (крайне редкого в реальных ситуациях) полезно несколько скорректировать целевую функцию задачи ЛБП (3)–(18) следующим образом:

Σnk=1(uk+vk) + δ (Σi∈I αi – Σi∈J βi) → min, (19)

где δ – наперед заданная малая положительная константа.

Поставим теперь задачу определения параметров модели (2) с помощью метода смешанного оценивания (МСО) [16]. Его суть состоит в следующем; пусть, исходя из некоторых эмпирических или теоретических принципов, множество номеров всех наблюдений Р = {1, 2, ..., n}в простейшем случае может быть разбито на два непересекающихся подмножества Р1 ⊂ Р и Р2 ⊂ Р:

Р1 ∪ Р2 = Р, Р1 ∩ Р2 = ∅.

При этом минимизация ошибок аппроксимации на первом из них производится в соответствии с МНМ:

L1(α) = Σk∈p1|εk| → min, а на втором – с методом антиробастного оценивания: L2(α) = maxk∈p2|εk| → min. В совмещении этих двух задач, т. е. в одновременной минимизации функций L1(α) и L2(α), и состоит идея метода смешанного оценивания.

Для реализации МСО при вычислении параметров простой вложенной кусочно-линейной регрессии (1) введем в систему ограничений задачи ЛБП (3)–(17), (19) новые неравенства:

uk + vk ≤ b, k ∈ P2, (20)

и заменим целевую функцию (19) на следующую:

Σk∈P1(uk+vk)/s + b + ηΣk∈P2 (uk+vk) + δ (Σi∈I αi – Σi∈J βi) → min, (21)

где s – число элементов в множестве, – заранее заданное малое положительное число.

Поставим задачу построения простой вложенной кусочно-линейной регрессии (1) с помощью МСО на основе данных из работы [15]:

Сформируем множества I, J, P1 и P2 следующим образом:

I = {1,2},

J = {2,3},

P1 = {2,3},

P2 = {1,4}.

Результат решения этой задачи на основе применения МНМ состоит в следующем [15]:

yk = min{min{2xk1, 4xk2},max{0.75xk2 0.468xk3}} + εk , k = 1,4, (22)

h = (4, 4, 12, 6),

g = (3, 4.218, 3.75, 6),

t = (3, 4, 3.75, 6),

u = (0, 0, 0, 3),

v = (0, 0, 1.75, 0),

L1 = 1.75, L2 = 3. В результате применения МСО путем решения задачи ЛБП (3)–(17), (20), (21) получим: yk = min{min{2.66xk1, 4xk2},max{1.0xk2 0.624xk3}} + εk , k = 1,4, (23) h = (5.33, 4, 16, 8), g = (4, 5.62, 5, 8), t = (4, 4, 5, 8), u = (0, 0, 0, 1), v = (1, 0, 3, 0), L1= 3, L2 = 1. Таким образом, по критерию L1 модель (23) на 1.25 уступает модели (22), но по критерию L2 превосходит ее на 2. При этом все оценки параметров модели (23) не меньше оценок модели (22).

В работе продолжены исследования, связанные с разработкой различных форм вложенных кусочно-линейных регрессионных моделей. Предложен алгоритмический способ определения численных оценок параметров простой формы такой регрессии методом смешанного оценивания, сводящийся к решению задачи линейно-булевого программирования.