Активное использование методов анализа данных для решения большого комплекса практических задач актуализировало и вопрос о границах применимости тех или иных методов. Например, для случая классической регрессии общеизвестно, что метод наименьших квадратов дает несмещенные и эффективные оценки коэффициентов только при выполнении условий Гаусса – Маркова. В противном случае возможно получение смещенных оценок коэффициентов, что может привести к серьезным ошибкам при внедрении модели на практике.

Среди всех условий Гаусса – Маркова самым сложно проверяемым является условие на гомоскедастичность – условие на отсутствие зависимости между дисперсией ошибки модели и значениями независимой переменной. Однако в последнее время в разных программных пакетах (например, в пакете skedastic для языка R) появилось значительное количество реализаций разных статистических тестов, проверяющих гипотезу о гомоскедастичности остатков.

Большое количество теоретических подходов к исследованию понятия гомоскедастичности привело к появлению значительного числа тестов, проверяющих разные типы зависимостей между ошибками модели и величиной независимой переменной, – а это значит, что некоторые тесты гомоскедастичности эффективны при одних входных данных, а другие – при других.

Наличием большого числа тестов можно объяснить и частое игнорирование исследователями в разных сферах науки [1][2] процедуры оценки выполнимости Гаусса – Маркова.

Целью данной работы является обнаружение с помощью вычислительного эксперимента самых эффективных статистических тестов для разных случаев гетероскедастичности.

К вопросу оценки эффективности тестов гетероскедастичности исследователи периодически возвращаются – можно выделить работы [3–7]. В отличие от последней работы [7] в этой сфере, данное исследование сосредоточено на моделях гетероскедастичности, в которых значение ошибок зависит от значений независимой переменной; кроме того, исследуется не только эффективность тестов в плане определения гетероскедастичности, но и их эффективность в плане определения гомоскедастичности.

Все расчеты, проведенные в ходе данного исследования, были выполнены с помощью языка R. В качестве объектов изучения были взяты статистические тесты, реализованные в пакете skedastic: Анкомба [8], BAMSET-тест (модификация М-теста Бартлетта, выполненная Рамсеем [9]), Бикеля [10], Бройша – Погана [11], Кука – Вейзеберга [12], Эванса – Кинга [13], Голдфильда – Квандта [14], Харрисона – Маккэйба [15], Хорна [16], Симонова – Цая [17], Вербыла [18], Уайта [19], Уилкокса – Келемана [20], Юсе [21], Чжоу [22].

Общая концепция оценки эффективности тестов основана на создании синтетических данных, по части которых мы точно знаем, что гетероскедастичности там нет, а по части – точно знаем, что она есть. Указанные выше тесты, однако, различаются по характеру рассматриваемой зависимости между ошибками и значениями независимой переменной. Поэтому для обобщенной оценки эффективности тестов использовались данные, сгенерированные по различным моделям:

– модель линейной зависимости с остатками, подчиненными нормальному закону распределения;

– модель линейной зависимости с нормально распределенными остатками, значение которых гиперболически зависит от значений независимой переменной:

(1)

– модель линейной зависимости с нормально распределенными остатками, значение которых уменьшается при уменьшении значений независимой переменной:

(2)

– модель линейной зависимости с нормально распределенными остатками, значение которых уменьшается при возрастании значений независимой переменной:

(3)

– модель линейной зависимости с нормально распределенными остатками, значение которых увеличивается при возрастании значений независимой переменной:

(4)

– модель линейной зависимости с нормально распределенными остатками, знак которых различен для разных частей выборки:

(5)

Графическое изображение всех шести типов синтетических данных, на которых оценивается эффективность тестов, представлено на рисунке.

Общий алгоритм генерации одного экземпляра синтетических данных для исследования состоит из следующих шагов:

– определяется размер выборки (случайно выбирается число из интервала [ 1,5;3], которое потенцируется по основанию 10 и округляется – количество элементов в выборке, таким образом, может быть от 30 до 1 000);

– генерируются значения независимой переменной (из нормального распределения, среднее значение которого находится в диапазоне от 0,1 до 1 000, а стандартное отклонение меняется от 1 до 5);

– генерируется параметр a линейной зависимости (случайно выбирается число из интервала [ 1,5;3], которое потенцируется по основанию 2 и округляется до сотых);

– генерируется параметр b линейной зависимости (выбирается случайно из интервала, образованного максимальным и минимальным значением независимой переменной);

– рассчитывается величина зависимой переменной без учета остатков, и на основе ее дисперсии генерируется вектор ошибок (ошибки распределены нормально, их среднее равно 0, среднеквадратическое отклонение выбирается из диапазона от среднеквадратического отклонения зависимой переменной до удвоенного значения среднеквадратического отклонения);

– рассчитывается доля значений для модели 6, которая определяет процент ошибок, взятых с положительным знаком;

– рассчитываются шесть векторов значений зависимой переменной для разных моделей гетероскедастичности.

Данный цикл был повторен 10 000 раз – в результате было получено 1 000 датафреймов разного размера, с разными параметрами независимой переменной, распределения ошибок и линейной зависимости.

После этого всеми вышеперечисленными статистическими тестами на уровне значимости в 0,05 были исследованы сгенерированные датафреймы. Полученные результаты исследовались двумя способами:

– путем построения сравнительных таблиц по тестам;

– через использование деревьев решений для выявления оптимального теста в зависимости от параметров выборок.

Сравнительная оценка эффективности тестов представлена ниже (таблица).

Согласно данным таблицы, можно сделать следующие выводы:

– тесты Юсе и Уилкокса – Келемана на представленных данных показали 100-процентную точность на данных без гетероскедастичности. Соответствующие тесты показывают крайне низкую вероятность ошибок первого рода, т. е. ошибочного отклонения гипотезы о гомоскедастичности;

– для случая гетероскедастичности при гиперболической зависимости остатков от значений независимой переменной (модель 2) все тесты, кроме BAMSET-теста, показывают более 50 % ошибок. Большая вероятность ошибок второго рода говорит об отсутствии надежных способов идентификации данного типа гетероскедастич­ности;

– для случая гетероскедастичности с умень­шением значений ошибок при уменьшении значений независимой переменной (модели 3 и 4) констатируем, что наилучший результат показывает тест Эванса – Кинга – примерно в 85–88 % случаев он позволил верно отвергнуть нулевую гипотезу о гомоскедастичности;

– для случая гетероскедастичности с увеличением значения ошибок при возрастании значений независимой переменной (модель 5) лучшие результаты показывают BAMSET-тест и тест Эванса – Кинга – в среднем в 1 случае из 12 они не позволяют отвергнуть ошибочную гипотезу о гомоскедастичности;

– для случая гетероскедастичности с изменением знака (модель 6) все тесты, кроме BAMSET-теста, показывают более 50 % ошибок. Большая вероятность ошибок второго рода говорит об отсутствии надежных способов идентификации данного типа гетероскедастичности.

Общий вывод позволяет констатировать большую эффективность BAMSET-теста и теста Эванса – Кинга в части сравнительно низкой вероятности ошибки второго рода и тестов Юсе, Уилкокса – Келемана в части низкой вероятности ошибки первого рода.

Однако сделанные выводы являются общими – возможно, при некоторых особенностях выборки некоторые статистические тесты обладают существенно большей эффективностью, чем другие. Для диагностики этого нами был использован метод деревьев классификации. Его применение к смоделированным данным позволило сделать следующие выводы:

– для случая с отсутствием гетероскедастичности все 15 рассмотренных тестов верно принимают нулевую гипотезу при следующих условиях: коэффициент корреляции между зависимой и независимой переменной меньше 0,747, стандартное отклонение независимой переменной больше 17,48;

– для случая гетероскедастичности при гиперболической зависимости остатков от значений независимой переменной (модель 2) 9 из 15 тестов верно отвергают нулевую гипотезу при следующих условиях: истинный коэффициент наклона в линейной модели находится в диапазоне от 0,36 до 6,42, а соотношение коэффициента наклона к стандартному отклонению независимой переменной меньше 0,636;

– для случая гетероскедастичности с уменьшением значений ошибок при уменьшении значений независимой переменной (модель 3) 13 из 15 тестов верно отвергают нулевую гипотезу при небольших значениях независимой переменной (среднее значение независимой переменной меньше 4,73);

– для случая гетероскедастичности с уменьшением значений ошибок при уменьшении значений независимой переменной (модель 4) 14 из 15 тестов верно отвергают нулевую гипотезу при выполнении следующих условий: стандартное отклонение зависимой переменной меньше 22,1, истинный коэффициент наклона в линейной модели меньше 0,847, коэффициент корреляции между зависимой и независимой переменной больше 0,95;

– для случая гетероскедастичности с увеличением значения ошибок при возрастании значений независимой переменной (модель 5) 12 из 15 тестов верно отвергают нулевую гипотезу при коэффициенте корреляции между зависимой и независимой переменной вне диапазона (0,38;0,52);

– для случая гетероскедастичности с изменением знака ошибок (модель 6) 5 тестов из 15 верно отвергают нулевую гипотезу при среднем значении зависимой переменной от 637 до 715.

Далее был проведен более детальный анализ по областям эффективности тестов. Для случая с отсутствием гетероскедастичности можно сделать следующие выводы:

– если среднее значение независимой переменной меньше 87,37, то в 99,7 % случаев лучшим является тест Бикеля;

– если среднее значение независимой переменной больше 87,37, соотношение коэффициента наклона к стандартному отклонению независимой переменной меньше 0,74, среднее значение независимой переменной меньше 906, то в 99,5 % случаев лучшим является тест Голдфельда – Квандта;

– если среднее значение независимой переменной больше 87,37, соотношение коэффициента наклона к стандартному отклонению независимой переменной меньше 0,74, среднее значение независимой переменной больше 906, то в 98,2 % случаев лучшим является тест Бикеля;

– если среднее значение независимой переменной больше 87,37, соотношение коэффициента наклона к стандартному отклонению независимой переменной больше 0,74, то в 99,9 % случаев лучшим является тест Уайта.

Для случаев гетероскедастичности при гиперболической зависимости остатков от значений независимой переменной (модель 2) можно сделать следующие выводы:

– если среднеквадратичное отклонение зависимой переменной меньше 39,6, то в 99,3 % случаев лучшим является тест Эванса – Кинга;

– если среднеквадратичное отклонение зависимой переменной больше 39,6, среднее значение зависимой переменной меньше 33,42, то в 99,9 % случаев лучшим является BAMSET-тест.

Для случаев гетероскедастичности с уменьшением значений ошибок при уменьшении значений независимой переменной (модель 3) можно сделать следующие выводы:

– если среднее значение независимой переменной меньше 87,37, соотношение коэффициента наклона к стандартному отклонению независимой переменной меньше 6,24, то в 99,9 % случаев лучшим является тест Чжоу;

– если среднее значение независимой переменной больше 87,37, а среднее значение зависимой переменной больше 764,2, то в 99,4 % случаев лучшим является тест Эванса – Кинга;

– если среднее значение независимой переменной больше 87,37, среднее значение зависимой переменной меньше 764,2, стандартное отклонение зависимой переменной меньше 188,7, то лучшим является тест Бикеля;

– если среднее значение независимой переменной больше 87,37, среднее значение зависимой переменной меньше 764,2, стандартное отклонение зависимой переменной больше 188,7, то лучшим является тест Харрисона – Маккейба.

Для случаев гетероскедастичности с уменьшением значений ошибок при уменьшении значений независимой переменной (модель 4) можно сделать следующие выводы:

– если коэффициент корреляции между зависимой и независимой переменной больше 0,956, то лучшим является тест Чжоу;

– если коэффициент корреляции между зависимой и независимой переменной меньше 0,956, стандартное отклонение зависимой переменной меньше 16,46, то в 99,9 % случаев лучшим является BAMSET-тест;

– если коэффициент корреляции между зависимой и независимой переменной меньше 0,956, стандартное отклонение зависимой переменной больше 16,46, то в 99,7 % случаев лучшим является тест Эванса – Кинга.

Для случаев гетероскедастичности с увеличением значения ошибок при возрастании значений независимой переменной (модель 5) можно сделать следующие выводы:

– если коэффициент наклона в модели меньше 5,13, а коэффициент корреляции между зависимой и независимой переменной меньше 0,73, то в 99,6 % лучшим является тест Харрисона – Маккейба;

– если коэффициент наклона в модели меньше 5,13, а коэффициент корреляции между зависимой и независимой переменной больше 0,73, то в 99,6 % лучшим является тест Эванса – Кинга;

– если коэффициент наклона в модели больше 5,13, соотношение коэффициента наклона к стандартному отклонению независимой переменной меньше 0,36, то лучшим является тест Голдфильда – Квандта;

– если коэффициент наклона в модели больше 5,13, соотношение коэффициента наклона к стандартному отклонению независимой переменной больше 0,36, стандартное отклонение зависимой переменной меньше 37,2, то в 99,8 % случаев лучшим является тест Бикеля;

– если коэффициент наклона в модели больше 5,13, соотношение коэффициента наклона к стандартному отклонению независимой переменной больше 0,36, стандартное отклонение зависимой переменной больше 37,2, то в 99,5 % случаев лучшим является тест Чжоу.

Для случаев гетероскедастичности с изменением знака ошибок (модель 6) можно сделать следующие выводы:

– если среднее значение независимой переменной больше 87,4, то в 99,9 % случаев лучшим является тест Бикеля;

– если среднее значение независимой переменной меньше 87,4, коэффициент наклона в модели меньше трех, то лучшим является тест Юсе;

– если среднее значение независимой переменной меньше 87,4, коэффициент наклона в модели больше трех, стандартное отклонение независимой переменной меньше 24,2, то в 99,6 % случаев лучшим является BAMSET-тест;

– если среднее значение независимой переменной меньше 87,4, коэффициент наклона в модели больше трех, стандартное отклонение независимой переменной больше 24,2, то в 99,6 % случаев лучшим является тест Эванса – Кинга.

Анализ полученных результатов позволил сделать несколько теоретических и прикладных выводов.

Во-первых, в прикладных задачах, в зависимости от особенностей их постановки, в общем случае лучше использовать тесты Юсе и Уилкокса – Келемана или тест Эванса – Кинга вместе с BAMSET-тестом.

Во-вторых, показано наличие существенной зависимости эффективности рассмотренных статистических тестов от параметров выборки, к которой они применяются. Соответственно, в практических исследованиях рекомендуется сначала проведение вспомогательных работ, направленных на установление эффективности тестов гетероскедастичности при имеющихся данных с конкретными свойствами.

В-третьих, при некоторых типах гетероскедастичности все рассмотренные тесты показывают значительный процент ошибок. Это говорит о необходимости продолжения соответствующих теоретических исследований и разработке новых способов детектирования разных форм гетероскедастичности.