Пенсионное обеспечение населения является важнейшей социальной функцией любого государства. Вопросам анализа устойчивых закономерностей этого процесса и поиска путей повышения его эффективности в мире уделяется большое внимание. Традиционным средством проведения исследований в этой области является математическое моделирование. При этом используются как традиционные линейные, так и существенно нелинейные модели.

Так, в работе [1] представлена модель Хестона – Халла – Уайта в управлении пенсионным фондом. В явном виде представлены оптимальная политика инвестирования и выплаты пособий с возможностью просадки доходов. Управляющему пенсионным фондом разрешено инвестировать средства фонда в безрисковые и рискованные активы. Динамика цен рисковых активов развивается в соответствии с моделью гибридной стохастической волатильности. В источнике [2] показано, как доходы пенсионных фондов в Испании и Великобритании адекватно описываются соответственно с помощью авторегрессионной модели и нейронной сети. Статья [3] посвящена описанию многопериодной стохастической оптимизационной модели для решения задачи оптимального выбора пенсионного фонда участником пенсионного плана. В модели участникам пенсионного плана предоставляется возможность периодически переключаться между J-типами фондов с разными профилями риска и таким образом активно управлять своей подверженностью риску и ожидаемой доходностью. Минимизация показателя отклонения среднего значения риска за несколько периодов при ограничении ожидаемой доходности приводит к крупномасштабной линейной программе для пенсионной системы Словацкой Республики. В исследовании [4] изучается проблема оптимального управления пенсионными фондами с установленными взносами на этапе распределения в условиях инфляции, смертности и неопределенности модели. При этом применяются методы робастного управления и динамического программирования. В источнике [5] рассматривается задача оптимального инвестирования участника пенсионной схемы, столкнувшегося со стохастической инфляцией, с использованием критерия средней дисперсии Марковица, методов Лагранжа и стохастического динамического программирования.

В работе [6] исследуется эффективность испанских пенсионных фондов с использованием ряда линейных и нелинейных моделей эффективности. Поскольку в выборке представлены характеристики моментов высокого порядка, традиционные показатели эффективности искажаются. Поэтому формируются альтернативные модели производительности, которые включают факторы риска, моделирующие асимметрию и эксцесс. При этом учитываются факторы, которые отражают нелинейность, присущую некоторым базовым активам, используемым в пенсионных фондах. В исследовании [7] показано, как критерий средней дисперсии может быть применен к многопериодной ситуации, чтобы получить эффективные портфели в контексте активов и пассивов. Модель оптимизации позволяет оценить транзакционные издержки и стохастические волатильности как активов, так и обязательств. Кроме того, дается общая основа для прогнозирования обязательств пенсионного фонда, а также для формирования доходности активов. В источнике [8] представлена новая нелинейная стохастическая модель процентных ставок, которая, как особый случай, содержит стандартную линейную модель Паркера. Получено множество практических применений для движения финансов и пенсий. В статье [9] предлагается надежная основа для управления пенсионным фондом с установленными выплатами, основанная на оптимизации. Показывается, что этот подход позволяет гибко моделировать многие особенности проблемы управления пенсионным фондом. Он является вычислительно приемлемой альтернативой подходам, основанным на стохастическом программировании. Наконец, в источнике [10] представлена модель нелинейной оптимизации для итальянской пенсионной системы с фиксированными взносами, основанной на трех контрольных переменных: индексации пенсий, условной ставке и ставке взносов. Целевая функция учитывает как социальную адекватность, так и устойчивость ставок взносов в условиях ограничений на ликвидность и устойчивость.

В публикации [11] представлена разработанная на основе статистической информации за 2012–2022 гг. линейная по параметрам, но нелинейная по независимым переменным регрессионная модель объема финансирования отделения пенсионного фонда в России:

y = −4927260 + 0,35293x1 + 115801,(1)

R = 0,995371; F = 501,69; E = 0,85; Т = (–31,11; 4,487; 3,475; 28,1).

Приведем весь полный набор зависимой и потенциальных независимых переменных, использованных при проведении конкурса альтернативных вариантов для модели (1):

y – суммарный годовой объем финансирования отделения социального фонда России по Иркутской области, тыс. руб.;

x1 – количество страховых пенсий по старости;

x2 – количество страхователей-работодателей, чел.;

x3 – количество самозанятых (плательщиков взносов за себя), чел.;

x4 – количество получателей пособий единовременной выплаты, чел.;

x5 – количество застрахованных лиц, чел.;

x6 – количество пенсионеров, чел.;

x7 – количество работающих пенсионеров, чел.

Для оценки адекватности модели использованы критерии адекватности:

R – критерий множественной детерминации;

F – критерий Фишера;

Е – средняя относительная ошибка аппроксимации;

Т – вектор значений критерия Стьюдента для параметров модели.

Таким образом, в модель (1) оказались включены лишь четыре независимых переменных из семи возможных. Она является весьма адекватной исследуемому объекту, на что указывают значения перечисленных выше критериев.

Поставим задачу построения на основе той же информации кусочно-линейной функции Леонтьева:

y = min(a1x1,a2x2,…,a7x7).(2)

Ее отличительной особенностью является то, что для любого наблюдения выборки минимум в модели (2) реализуется на одной независимой переменной, значение которой лимитирует значение у. При этом любое значение других переменных не изменит выходную переменную. Это свойство модели (2) позволяет сформировать вектор срабатываний λ = (λ2, …, λ11), k-я компонента которого λk равна номеру независимой переменной, на которой реализовался минимум в (2).

Оценивание неизвестных параметров кусочно-линейной модели (2) сводится к решению задачи линейно-булева программирования (ЛБП) (см., например, [12]).

При разработке кусочно-линейной зависимости (2) будем иметь в виду, что так же, как и при построении регрессии (1), финальный вариант модели может не содержать все переменные xi, i = 1,7—. В результате проведения соответствующего конкурса альтернатив он принял вид:

y = min(3,5784x2, 2,0353x3, 0,0579x4), (3)

Е = 8,1211; λ = (3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,2).

По точности модель (3), если судить по критерию Е, существенно уступает модели (1), что совершенно естественно ввиду кусочного характера первой. Тем не менее значение средней относительной ошибки аппроксимации (8,1211 %) для нее вполне приемлемо. На рисунке приведены значения фактических, заданных в выборке, и расчетных, вычисленных по модели, значений выходной переменной у.

В модель (3) удалось включить лишь три независимые переменные из семи возможных вследствие статистической незначимости остальных. При этом в девяти годах из одиннадцати (в 2012–2020 гг.) лимитирующим фактором является количество самозанятых (плательщиков взносов за себя). Таким образом, именно этот показатель главным образом и определяет характер динамики суммарного годового объема финансирования отделения Социального фонда России по Иркутской области. Сделаем некоторые пояснения к этому результату.

К самозанятым гражданам относятся их категории, уплачивающие налог на профессиональный доход 4 или 6 %. Налоговые ставки зависят от источника дохода налогоплательщика. Ставка 4 % используется, если доход за товар, работы или услуги поступил от физического лица. Ставка 6 % применяется, если это поступление от юридического лица или индивидуального предпринимателя. Ограничение накладывает и лимит на доходы самозанятого – суммарный годовой доход не должен превышать 2,4 млн руб. В случае превышения лимита гражданин теряет право применять этот режим налогообложения.

В общем случае самозанятые категории граждан не платят обязательные страховые взносы, однако с целью формирования пенсии такие категории могут добровольно вступать в правоотношения по обязательному пенсионному страхованию, направив заявление в территориальный орган Социального фонда России и уплачивать страховые взносы самостоятельно. Вместе с этим утратится их право на индексацию пенсии; страховую пенсию по случаю потери кормильца в связи с уходом за детьми до 14 лет; на пенсию, назначенную по предложению службы занятости; на компенсационные выплаты по уходу за нетрудоспособными лицами и часть других выплат. Таким образом, категория самозанятых граждан (в случае добровольной оплаты взносов на обязательное пенсионное страхование) должна рассматриваться как с точки зрения количественной характеристики, непосредственно определяющей размеры страховых взносов, так и с точки зрения качественной величины, одновременно накладывающей ограничения на индексацию пенсий и часть социальных выплат.

Построим теперь модифицированный аналог кусочно-линейной модели Леонтьева (3), выбрав в соответствии с алгоритмом из источника [12] оптимальные преобразования для каждой независимой переменной из некоего набора элементарных функций – логарифмических, степенных и показательных. В результате получим модель:

y = min(0,0155x21,5;0,0078x31,5;332,6545√x4), (4)

Е = 7,921; λ = (3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,2).

Модель (4) характеризуется несколько большей точностью, чем (3), однако их векторы срабатываний совпадают.

В работе построены два варианта кусочно-линейной функции Леонтьева для суммарного годового объема финансирования отделения Социального фонда России по Иркутской области – обычный и с оптимальными преобразованиями независимых переменных. Оба варианта обладают приемлемой точностью, а анализ их векторов срабатывания указывает на то, что показателем, главным образом и определяющим характер динамики выходной переменной, является количество самозанятых (плательщиков взносов за себя).