Асинхронные двигатели (АД) являются ключевыми компонентами промышленных электроприводов, широко используемыми в различных отраслях. Их надежность и эффективность имеют решающее значение для непрерывности и экономичности производственных процессов. Однако реальные условия эксплуатации, нередко характеризующиеся неидеальным качеством электроэнергии, нелинейностью магнитных цепей, оказывают существенное влияние на характеристики и срок службы АД. Поэтому проблема разработки адекватных математических моделей, способных учитывать эти факторы, остается актуальной задачей современной энергетики [1, 2].

Существующие методы моделирования АД, например, основанные на преобразованиях Парка-Горева, широко используются, но могут иметь ограничения при анализе сложных режимов работы и при необходимости непосредственного определения токов в обмотках статора и ротора [3]. Метод контурных токов предоставляет альтернативный подход, позволяющий более детально учитывать особенности электрической цепи двигателя и ее взаимодействие с питающей сетью [4].

В настоящей работе представлен обзор усовершенствованной математической модели АДФР на основе метода контурных токов для междуфазных напряжений.

Целью работы является разработка модели, адекватно описывающей переходные процессы при несимметричном напряжении питающей сети, а также при различных режимах работы, возникающих в процессе эксплуатации электрических машин. Наличие качественной модели позволит спрогнозировать ресурс основных элементов машины и повысить качество работ по проведению диагностики неисправностей.

В последние годы наблюдается растущий интерес к моделированию АД с использованием различных математических подходов. Разработка точных и надежных математических моделей необходима для оптимизации параметров и прогнозирования поведения АД в различных условиях эксплуатации. Различные подходы к моделированию АД, представленные в научной литературе, имеют свои преимущества и ограничения.

Многие исследования сосредоточены на создании моделей, способных адекватно описывать динамические режимы АД. Например, в работах А. В. Шестакова и соавт. представлена математическая модель, основанная на дифференциальных уравнениях в двухфазной ортогональной системе координат, учитывающая потери в железе, эффект вытеснения тока в стержнях ротора и насыщение магнитной цепи. Предложенная модель позволяет моделировать переходные процессы и обеспечивает удовлетворительную точность при сопоставлении с экспериментальными данными [1, 2].

Другое направление исследований связано с разработкой моделей для анализа специфических режимов работы АД. В работе A. V. Smolyaninov et al. рассмотрена система многомоторного частотно-каскадного электропривода, для которой получена динамическая модель и структурная схема АД с частотно-каскадным управлением [3]. В работе M. Y. Pustovetov предложена математическая модель трехфазного АД в системе отсчета трехфазного статора, позволяющая моделировать токи ротора на их фактической частоте [4].

Также актуальной задачей является моделирование АД в условиях несимметрии напряжения питающей сети. В статье А. С. Глазырина была разработана n-фазная имитационная модель АД для исследования обрыва стержня в беличьей клетке, позволяющая исследовать работу двигателя как в нормальном состоянии, так и при обрыве стержней [5].

Некоторые работы посвящены разработке более точных моделей АД с использованием метода конечных элементов (МКЭ) для учета нелинейности магнитопровода, скоса пазов ротора и индуктивности лобовых частей обмотки [6]. Такие модели позволяют более детально анализировать рабочие режимы АД и оптимизировать их конструкцию [6, 7].

Однако, несмотря на значительный прогресс в области моделирования АД, остаются нерешенные проблемы. Представленная работа направлена на разработку усовершенствованной математической модели АДФР на основе метода контурных токов, пригодной для анализа широкого спектра режимов работы и диагностики неисправностей.

Предлагаемая модель АДФР основана на эквивалентной схеме замещения, где статор и ротор представлены в виде взаимосвязанных контуров (рис. 1).

Уравнения, описывающие электрическую часть модели, составляются на основе второго закона Кирхгофа для каждого контура. С учетом рис. 1 дифференциальные уравнения для междуфазных напряжений имеют вид (1):

где UAB, UBС – мгновенные значения линейных напряжений;

i1, i2, i3, i4 – контурные токи;

i3, i4 – контурные токи ротора;

RA, RB, RC – активные сопротивления фаз статора;

Ra, Rb, Rc – активные сопротивления фаз статора;

Rдоб – добавочное сопротивление в роторной цепи;

Ψ1, Ψ2, Ψ3, Ψ4 – потокосцепления соответствующих контуров.

i1 = iA; i2 = –iC i2; i3 = ia. i4 = –iC.

Потокосцепления выражаются через контурные токи и индуктивности (2):

 (2)

где L11–L44 – индуктивности обмоток.

Представленная математическая модель АДФР дает возможность моделировать не только эксплуатационные, но и аварийные режимы работы электрической машины. Так, при переходном процессе к рассматриваемой математической модели следует добавить уравнения электромагнитных моментов (3):

 (3)

где Mэ – электромагнитный момент;

Mc – момент нагрузки.

При моделировании режима запуска АДФР в i-м контуре, ток определяется как сумма токов ini периодической и i0i апериодической составляющей:

ii = ini + i0i.

Модель механической части АД описывается уравнением (вращательное движение) (4):

 , (4)

где j – момент инерции вращающихся частей двигателя и нагрузки;

ω2 – угловая скорость вращения ротора.

Система уравнений (1)–(4) решается численными методами (например, методом Рунге-Кутта) в среде MatLab/Simulink [8].

Сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными, полученными для аналогичного двигателя, демонстрирует адекватность разработанной модели. Погрешность не превышает 10 %.

Представленная математическая модель АДФР на основе метода контурных токов обладает рядом преимуществ по сравнению с существующими моделями:

Во-первых, она позволяет непосредственно получать токи в обмотках статора и ротора, что важно для задач релейной защиты.

Во-вторых, модель позволяет учитывать влияние несимметрии напряжения питающей сети, что особенно актуально для современных электроэнергетических систем.

В-третьих, возможность изменения параметров модели (индуктивностей, сопротивлений) позволяет исследовать различные режимы работы и диагностировать неисправности.

Представленная математическая модель АДФР на основе метода контурных токов для междуфазных напряжений является эффективным инструментом для исследования переходных процессов, возникающих при различных режимах работы и при наличии несимметрии напряжения питающей сети.

Результаты моделирования подтверждают адекватность разработанной модели и демонстрируют ее применимость для задач релейной защиты и диагностики АДФР.