Система сигналов принципиально отличается от набора разнотипных сигналов, поскольку объединяет совокупность сигналов с определенной общностью параметров, но в то же время проявляющих ярко выраженные отличные свойства. Преимущества использования системы сигналов по сравнению с сигналами разного типа состоит в определенных предсказуемых перекрестных корреляционных связях, определяемых взаимнокорреляционными функциями (ВКФ). В связи с этим актуальными являются исследования по поиску системы сигналов с максимальным числом составляющих и хорошими свойствами перекрестной корреляции. Для многоканальных систем электрической связи предпочтительными являются сигналы с минимальным уровнем ВКФ. Целью статьи является исследование взаимнокорреляционных свойств системы сигналов на основе кодов Задова – Чу, имеющих нулевой уровень боковых лепестков периодической автокорреляционной функции и низкий уровень боковых лепестков автокорреляционной функции.

Рассмотрим систему многофазных сигналов [1][7] на основе кода Задова – Чу с нулевым уровнем боковых лепестков (УБЛ) периодической автокорреляционной функции (АКФ). Фаза таких сигналов (1) изменяется по квадратичному или линейно-квадратичному закону.

   (1)

n = 0, … N N – 1,

где N – число элементов в последовательности;

n – порядковый номер элемента, начиная с нулевого;

q – целое число, взаимно простое с N.

Примечательность сигналов на основе кодов Задова – Чу состоит в большом объеме различных вариантов: для данного числа N элементов в последовательности существует N1 вариантов реализации, определяемых количеством взаимно простых с N чисел q.

В табл. 1 представлены наборы взаимно простых чисел для последовательностей с разным числом элементов (жирным курсивом выделены варианты, имеющие простое число элементов последовательности N). 

Эффективность системы сигналов на основе кода Задова – Чу состоит в использовании последовательностей с таким числом элементов N, для которых, с одной стороны, количество вариантов N1 реализации будет максимально большим, а с другой стороны, взаимнокорреляционные свойства максимального их числа будут хорошими (максимальный уровень ВКФ будет меньше установленного порогового значения). Эти два критерия сужают число сигналов относительно потенциально возможного, что связано с величиной установленного порогового значения, диктуемого областью использования системы сигналов.

В качестве примера на рис. 1 для сигнала на основе кода Задова – Чу из 13 элементов изображены АКФ (q = 1) и ВКФ (q1 = 1 и q2 = 5). 

Из анализа приведенных зависимостей следует, что для системы сигналов на основе кодов Задова – Чу автокорреляция (УБЛ АКФ –17,3 дБ) получается существенно лучше взаимокорреляции (уровень ВКФ –9,1 дБ). АКФ имеет симметричный относительно нулевого сдвига и более регулярный характер по сравнению с ВКФ, причем при сдвиге на 12 элементов уровни АКФ и ВКФ численно совпадают, что доказывается в [8] при обосновании коэффициента эффективности радиоимпульсных последовательностей.

Анализ корреляционных и взаимнокорреляционных характеристик системы сигналов на основе кодов Задова – Чу выявил необходимость разделения системы сигналов на четыре категории в зависимости от числа элементов N в последовательности:

– простые числа;

– нечетные числа за исключением простых;

– четные числа, относящиеся к ряду 2n, n = 1, 2, 3, 4, …;

– четные числа за исключением чисел, относящихся к ряду 2n, n = 1, 2, 3, 4, …

Для иллюстрации этого в табл. 2–5 представлены УБЛ АКФ и уровень ВКФ:

N = 13 – простое число;

N = 14 – четное число, не относящееся к 2n;

N = 15 – нечетное число, не относящееся к простым;

N = 16 – четное число, относящееся к 2n (n = 4). 

Максимально большое количество взаимно простых чисел N1 получается для последовательностей, состоящих из простого числа элементов (3, 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.):

N1 = N – 1.

В табл. 2 приведены УБЛ АКФ и уровень ВКФ последовательности из 13 элементов (числа по главной диагонали соответствуют УБЛ АКФ, выше главной диагонали – уровень ВКФ).

Из табл. 2. следует, что наилучшие корреляционные свойства (значения на главной диагонали) имеют сигналы с q = 1 и q = 12. На рис. 2 изображена гистограмма распределения максимальных значений уровень ВКФ для последовательности из 13 элементов (УБЛ АКФ для q = 1 при этом составляет –17,3 дБ). 

В табл. 3 приведены УБЛ АКФ и уровень ВКФ последовательности из 14 элементов (четное число). 

На рис. 3 изображена гистограмма распределения максимальных значений уровня ВКФ для последовательности из 14 элементов (УБЛ АКФ для q = 1 при этом составляет –17,8 дБ).

Сравнение рис. 3 и 2 показывает лучшие взаимнокорреляционные свойства для простого числа 13 (гистограмма при этом расположена левее – в области меньших значений УБЛ).

В табл. 4 приведены УБЛ АКФ и уровень ВКФ последовательности из 15 элементов (нечетное число, не являющееся простым). 

На рис. 4 изображена гистограмма распределения максимальных значений уровня ВКФ для последовательности из 15 элементов (УБЛ АКФ для q = 1 при этом составляет –18,3 дБ).

Особенностью гистограммы для 15 элементов в последовательности является значительный удельный вес сигналов с достаточно большим уровнем ВКФ (–7 дБ и –5 дБ).

В табл. 5 приведены УБЛ АКФ и уровень ВКФ последовательности из 16 элементов. 

На рис. 5 изображена гистограмма распределения максимальных значений уровня ВКФ для последовательности из 16 (16 = 24) элементов (УБЛ АКФ для q = 1 при этом составляет –18,3 дБ).  

Особенностью гистограммы для 16 элементов в последовательности является значительный удельный вес сигналов (42,8 %) с очень большим уровнем ВКФ (–6 дБ и –3 дБ).

Анализ приведенных таблиц и гистограмм показывает, что наилучшие взаимнокорреляционные свойства системы сигналов на основе кода Задова – Чу (максимальное смещение максимума гистограммы влево – в сторону минимальных боковых лепестков и минимальное наличие остатков с большим уровнем боковых лепестков справа) наблюдается для последовательностей с числом элементов N, являющихся простым числом. Наихудший результат показывают последовательности с четным числом элементов, представляющим собой N = 16 = 24.

С ростом числа элементов в последовательности гистограммы распределения максимального уровня ВКФ становятся более регулярными одномодовыми (для нечетного числа элементов в последовательности N) или многомодовыми (для четного числа элементов в последовательности N). На рис. 6 изображена распределения максимальных значений уровня ВКФ для большого числа элементов в последовательности (простое число 257). 

Максимум гистограммы максимальных значений УБЛ ВКФ расположен правее на 9 дБ относительно координаты УБЛ АКФ (–30,4 дБ).

Приведенные зависимости УБЛ ВКФ и корреляционных свойств дают информацию для выбора параметров сигналов из системы сигналов на основе кодов Задова – Чу в качестве системы сигналов, либо для выбора определенных вариантов реализации при ограничении на конкретное число элементов в последовательности N.