Применение метода вейвлет-анализа данных для построения прогнозной модели

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время используется большое количество традиционных методов анализа для прогнозирования цен. К ним можно отнести методы анализа данных и машинного обучения (например, алгоритм градиентного бустинга, факторная регрессионная модель, метод корреляционно-регрессионного анализа и др.). Безусловно, такие методы имеют преимущества и недостатки. При рассмотрении процесса изменения цен ценовой ряд можно отнести к временному ряду. Одним из основных методов обработки такого ряда является спектральный анализ (Фурье-анализ), который позволяет охарактеризовать частотный состав исследуемого сигнала [1][2]. Недостатком Фурье-анализа является то, что частотные компоненты носят глобальный характер в силу существования в пределах от –∞ до +∞, это условие естественным образом ограничивает его использование на практике. Существует форма кратковременного преобразования Фурье. Однако и у этой формы существует недостаток, происходящий от небезызвестного принципа Гейзенберга. Поэтому решением задачи исследования временных рядов могут стать преобразования с переменным разрешением, такие как вейвлет-преобразования [3]. Таким образом, основной задачей данной работы является моделирование временных рядов с применением математического аппарата вейвлет-анализа.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Сравнительно молодой термин «вейвлет» введен в середине 1980-х гг. в статье А. Гроссмана и Ж. Морле, посвященной анализу свойств сейсмических и акустических сигналов [3]. Сейчас это известно как «вейвлет-преобразование», которое переводит сигнал из временного представления в частотно-временное. При решении практических задач анализ различных зависимостей на основе вейвлетов получил широкое применение [4].

Анализ одномерного сигнала с помощью вейвлет-преобразования состоит в его разложении по базису. Базисные функции должны обладать определенными свойствами солитоноподобной функции (вейвлета) за счет масштабных изменений и переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве (времени). Преобразование выполняется отдельно для различных сегментов сигнала во временной области. Базисные функции определены компактно, это позволяет говорить о финитности получаемых последовательностей.

В случае когда сигнал представляет собой нестационарный случайный процесс, для задач анализа и синтеза, оптимизации параметров моделей сигналов и выделения сигналов на фоне шумов различного происхождения целесообразно применить вейвлет-преобразование. Благодаря высокому разрешению во временной области возможно выделять и анализировать импульсные составляющие, проектируя на основе полученных данных различные графические модели, удобные для восприятия [5].

Для временного ряда с помощью методов вейвлет-анализа необходимо получить количественные и качественные оценки, характеризующие нестационарность (хаотичность) исследуемого процесса, затем построить авторегрессионную математическую модель типа ARMA [6] для коэффициентов разложения, сделать их прогноз, после чего выполнить вейвлет-реконструкцию для предсказания исходного сигнала.

В первую очередь необходимо выполнить вейвлет-разложение исходного временного ряда. В результате этого на каждом уровне получаемый на предыдущем шаге низкочастотный сигнал разделяется на низкочастотную и высокочастотную части.

Исходный сигнал (обозначим его как x) после разложения на N слоев можно представить следующим образом:

x = D₁ + D₂ + ... + D_N + A_N , (1)

где D₁, D₂, …, D_N – это первый, второй и другие N слоев соответственно (высокочастотные сигналы);

A_N – это низкочастотный сигнал, полученный путем разложения N-го слоя.

Таким образом, необходимо получить прогнозные значения D1, D2, …, D_N и A_N, после чего выполнить вейвлет-реконструкцию для предсказания исходного сигнала [7].

Представим блок-схему работы алгоритма прогнозирования (рис. 1).

Рассмотрим последовательность шагов для разложения по методу вейвлет-анализа.

1. Необходимо разложить выбранные данные с использованием вейвлет-анализа. Выбираем в качестве вейвлет-функции вейвлеты Добеши с n = 4, которые являются достаточно известными типами и используются во многих практических приложениях. Вейвлеты порядка N (dbN) отличны от нуля лишь на интервале длиной (2N – 1) и имеют 2Nотличных от нуля коэффициентов фильтров [8]. Количество уровней разложения – 2.
2. Создаем и восстанавливаем модель ARMA для каждого коэффициента слоя.
3. По построенным моделям определяем вейвлет-коэффициенты, для чего определяем количество шагов, которое следует предсказать каждой модели ARMA. Для этого проверяем количество коэффициентов после вейвлет-разложения всех исходных данных и находим разницу.
4. Для предсказания исходного сигнала производим вейвлет-реконструкцию.

В результате выполнения данной последовательности шагов получаем модель, которая позволит построить необходимый прогноз временного ряда.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

В качестве исходной информации для исследования были взяты данные из открытых источников, в частности цена закрытия акций на торгах некоторых компаний. Были сформированы обучающая и тестовая выборки.

Из исходной выборки выделим значения «цена закрытия» и разделим их на тиккеры. Для каждого тиккера выделяем обучающую выборку и 5 точек для построения прогноза. На обучающей выборке применяем вейвлет-преобразование с уровнем глубины 2, в результате чего получаем коэффициенты разложения D1, D2, A₂, которые затем используем для настройки авторегрессионной модели ARMA.

Покажем пример полученной модели по обучающей выборке для тиккера «CLL» (рис. 2). Значение по оси абсцисс – номер точки (соответствует временному промежутку равному суткам), по оси ординат – значение цены закрытия.

Построим прогноз цены закрытия на 5 дней вперед по полученной модели. Результаты прогнозирования и реальные значения цены представлены в табл. 1: показаны реальные значения из теста (real), предсказанные (predict), сигнал рассогласования (err) и относительная ошибка в процентах (err_rate).

Приведем на рис. 3 предсказание на тестовой выборке (укрупненно для 5 точек) по модели ARMA, предсказанные точки обозначены кружочками, реальные – звездочками.

Было проведено моделирование на разных тиккерах и для разных периодов прогнозирования. Полученные результаты позволяют говорить об эффекте прогнозирования модели на небольшие промежутки времени, то есть чем длительней период прогнозирования, тем больше растет ошибка. В результате было принято решение не строить прогноз на период более чем 3 дня.

Покажем на примере тиккера «A-share», как выглядят модели ARMA для глубины равной 2 (рис. 4–6). На рисунках пунктирной линией представлены истинные данные, сплошной – значения модели.

Анализируя модели вейвлет-коэффициентов, можно понять необходимость фильтрации исходной последовательности. Цель состоит в том, чтобы подавить шумовую часть сигнала и восстановить основной тренд.

При вейвлет-анализе сигнал разделяется на сглаженный (аппроксимирующие коэффициенты) и шумовой (детализирующие коэффициенты). К шумовой части целесообразно применить вейвлет-фильтрацию. Поскольку шумовая компонента больше отражается в детализирующих коэффициентах D_j, обрабатывают обычно их. Самый простой способ удаления шума – придать нулевые значения коэффициентам, меньшим некоторой пороговой величины. Эта процедура называется пороговой обработкой или трешхолдингом коэффициентов [8].

Полученные детализирующие вейвлет-коэффициентов D₁, D₂, …, D_N – 2, D_N – 1 обнуляют все положительные (отрицательные) значения, имеющие амплитуду, меньшую (большую), чем некоторые положительные (отрицательные) пороги, устанавливаемые симметрично относительно нулевого уровня [8]. Для задачи фильтрации лучшим вариантом будет ситуация, когда остальные элементы векторов остаются без изменения, то есть реализуется так называемый жесткий порог. При решении практических задач также можно столкнуться с использованием мягкого порога, когда элементы последовательностей, находящиеся вне ограниченной порогами полосы, сдвигаются по направлению к нулевому уровню на величину высоты порога.

Продемонстрируем результат применения фильтрации исходной последовательности и покажем результат прогнозирования на 3 дня. На рис. 7 представлена полученная модель для тиккера «XOM».

Результаты прогнозирования и реальные значения цены для выбранных данных представлены в табл. 2.

Приведем на рис. 8 предсказание на тестовой выборке (укрупненно для 3 точек).

Видно, что применение трешхолдинга позволило уменьшить ошибку прогнозирования. Высокой точности прогнозирования временного ряда, безусловно, не ожидается, но важным является отслеживание тенденции роста или падения цены закрытия, что вполне отслеживается в прогнозе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведя исследования данного подхода на разных тиккерах за разный период, времени можно сделать следующие выводы:

− использование вейвлет-анализа для временных рядов является эффективным инструментом;

− модель прогнозирования имеет более высокую точность прогнозов на небольших временных промежутках;

− при вейвлет-реконструкции для предсказания исходного сигнала целесообразно использовать фильтрацию.

В перспективе для моделирования вейвлет-коэффициентов каждого слоя после вейвлет-разложения можно попробовать иные методы, например, нейронные сети.