Оценка информационной избыточности модулярных процессоров

ВВЕДЕНИЕ

В 1960-х г. профессор МГУ С. В. Фомин выдвинул основополагающую концепцию, согласно которой в позиционной системе счисления присутствует оптимальное основание. Выбор оптимального основания позволяет минимизировать количество символов, необходимых для представления конечного числа информационных единиц. Это основание – натуральный логарифм (e), который равен приблизительно 2,71828. Сравнение с традиционными системами счисления показывает, что троичная система является одной из систем счисления, которые наиболее близки к этому оптимальному основанию. Действительно, неравенство вида выполняется. Троичная система счисления, в свою очередь, повышает информационную емкость по сравнению с двоичной, поэтому возможно представлять дискретные данные с использованием регистра с тем же количеством цифр. Эта особенность привлекает разработчиков вычислительных систем, поскольку троичная система потенциально предлагает более эффективное представление и обработку данных. Использование трех значений в троичной системе обеспечивает повышенную плотность хранения данных по сравнению с двоичной, которая использует только два значения. Это может привести к уменьшению требуемой памяти и более эффективному использованию доступных ресурсов. Однако реализация троичной системы счисления в современных вычислительных устройствах сталкивается с определенными трудностями.

Основным недостатком троичных систем являются большие затраты на аппаратуру. Троичная логика требует более сложных схем и элементов, чем двоичная. Это связано с необходимостью обрабатывать три состояния сигнала вместо двух. Недостатком троичной системы счисления является меньшая надежность обработки трех состояний в элементе памяти в отличие от двоичной, где существуют лишь два состояния. Однако, несмотря на недостатки троичной системы, исследуются возможности и производятся совершенствования вычислительных устройств для оптимальной реализации троичной системы счисления. Исследования в этой области продолжаются, и троичная система может стать ключевым фактором в создании новых, более эффективных вычислительных устройств будущего.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Применение троичной системы счисления в модулярном кодировании дискретной информации

В середине 70-х годов ученые столкнулись с определенными проблемами при применении различных цифровых решений, а также использовании развивающихся инновационных решений, которые основываются на представлении информации в модулярном формате [1]. Этот подход подразумевал использование арифметических операций в различных модулях для повышения вычислительной эффективности и обеспечения устойчивости к ошибкам. Рассматривая эволюцию процессорных технологий, можно выделить внедрение специализированных форматов данных для обработки комплексных чисел.

В этот период происходило интенсивное исследование новых сфер применения модулярной арифметики. В рамках плодотворного сотрудничества между неправительственными организациями – «Алмазом» и Институтом математики и механики Академии наук Казахской ССР (ИММ АН КазССР), а также «Астрофизикой» из Москвы – реализовывались несколько проектов. В данных проектах использовались инновационные математические подходы, такие как комплексные числа и кватернионы, при моделировании динамики летательных аппаратов. В свою очередь, комплексные числа – числа, которые можно представить в виде суммы действительного и мнимого чисел, где мнимое число равно произведению действительного числа и квадратного корня из –1 (i), а кватернионы – четырехмерные числа, которые можно представить в виде суммы действительного числа и трех мнимых чисел, каждое из которых связано с разными воображаемыми единицами (i, j, k). Вычисления в обсуждаемых исследовательских проектах выполнялись посредством арифметики по модулю, которая представляет собой математический метод, позволяющий производить арифметические операции с числами, используя их представления по модулю набора выбранных простых чисел [2].

В период своего сотрудничества с Московским государственным университетом имени М. В. Ломоносова академик В. М. Амербаев заинтересовался троичной системой счисления, применяемой в созданных там ЭВМ «Сетунь» и «Сетунь-70» [3]. Исследования коллег из ведущего российского вуза, Московского государственного университета, обладавших обширным практическим опытом в сфере оптимизации информационных процессов, послужили катализатором для изучения перспектив интеграции троичной системы счисления и системы остаточных классов. Результаты проведенных изысканий показали, что этот подход обладает потенциалом для повышения эффективности представления числовых данных в модулярной форме, способствуя сокращению избыточности информации.

Уникальные особенности модулярной арифметики включают возможность раздельного проведения операций над числовыми элементами векторных представлений, а также способствуют созданию кодов для контроля целостности обрабатываемых данных в модульных формах, которые устойчивые к помехам [4].

Данные, представленные в виде модулярных форматов в регистрах двоичной и троичной системах счисления, вызывают проблему чрезмерной избыточности представления.

Использование модулярной арифметики в работе специализированных цифровых устройств, таких как процессоры, ведет к решению первоочередной задачи, а именно выбор оснований для отображения пар взаимно простых чисел. Данные, обрабатываемые в этих устройствах, представляются в модулярном формате, и каждый элемент является остатком от деления на модуль. Модулярная арифметика находит применение в различных областях, таких как криптография, кодирование и теория чисел.

В основном все электронные устройства разработаны с использованием двоичных элементов. Модулярный вектор применяется с целью отображения числовых значений в формате модулярной арифметики, компоненты этого вектора представлены в формате двоичных регистрах. Существует следующая проблема: не все комбинации бинарных величин в регистре способны отображать значения вычетов по взаимно простым основаниям. Таким образом, появляется эффект, который называют бивалентным отображением вычетов по основаниям, то есть информационной избыточностью [5].

В стенах Академии наук Казахской ССР группа разработчиков, специализирующихся на цифровых фильтрах и контроллерах, столкнулась с непростым вызовом. В поисках решения они обратили внимание на троичную систему счисления, отличающуюся высокой информационной емкостью. Суть их идеи заключалась в том, чтобы оценить так называемый тривалентный эффект – избыточность, возникающую при представлении чисел в троичной системе.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Пусть А – некоторый вектор в модулярной арифметике, представляющий числовое значение:

где a_i наименьший неотрицательный вычет по модулю,

{p₁, …p_n} – множество простых или взаимно простых чисел, которые называются основаниями модулярной арифметики.

Верхняя грань числового значения вычислительного диапазона модулярной арифметики вычисляется по формуле:

(1)

Введем новое понятие для явления тривалентного эффекта в отношении единичного основания δ_i, а также понятие для полного числового вычислительного диапазона, обозначив его как Δ_n с n-регистровой троичной разрядной сетки модулярного процессора:

где выражение  – целая не меньшая часть, которая будет равна троичной разрядности регистра для отображения вычета по определенному основанию.

При использовании специально подобранных базисов, которые были определены с использованием троичной системы счисления, возможно значительное уменьшение проблемы информационной избыточности. Вследствие этого возможно достижение тривалентного эффекта, а также нулевой избыточности.

Рассмотрим пример, в котором определим следующие тритовые основания: {p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆} = {229, 233, 239, 241, 242, 243 = 3⁵}, где числовое значение глубины разрядной сетки будет составлять 30 трит. Вычислим значение вычислительного диапазона по формуле (1), полученное значение равно 180’729’058’527’458 и превышает 8’630’377’364’883, или 3²⁹ [6, 7]. В двоичной разрядной сетке для отображения полученного диапазона потребуется 48 бит. Характеристики выбранных тритовых модулярных оснований приведены в табл. 1 [7].

Вычислить информационную избыточность для каждого регистра можно следующим образом, используя представленную ниже формулу [7]:

3ⁿⁱ – ρ_i,

где 3ⁿⁱ – объем данных, отображаемый в троичной системе счисления, а p_i – это модулярное основание.

Следующая формула позволяет вычислить относительный информационный эффект [7]:

(3ⁿⁱ – ρ_i)/3ⁿⁱ, (2)

где 3ⁿⁱ – объем данных, отображаемый в троичной системе счисления, а ρ_i – это модулярное основание.

Для данного случая вычислим значение информационной избыточности по формуле (2), получим: (205’891’132’094’649–180’729’058’627’458)/205’891’132’094’649 = 12,22 %.

Если сравнить вычисленное значение показателя с вариантом выбора, где основание с аналогичной длиной разрядной сетки, в разработанных двоичных вычислительных машинах, можно увидеть, что полученный показатель гораздо меньше.

Рассмотрим пример, в котором определим следующие тритовые основания: = {193, 223, 229, 243, 257, 263, 293} с центральным основанием, равным 243. Получим глубину разрядной сетки, равную 35 тритам. Вычислим значение вычислительного диапазона по формуле (1), получим значение, равное 47’430’796’761’902’979 и превышающее 16’677’181’699’666’568, или 3³⁵. В двоичной разрядной сетке для отображения полученного диапазона потребуется 55 бит. В табл. 2 приведены ключевые особенности, определяющие выбор тритовых модулярных оснований.

Рассмотрим пример, в котором определим следующие тритовые основания: = {2137, 2153, 2161, 2187, 2213, 2221, 2237} с центральным основанием равным 243. Получим глубину разрядной сетки, равную 49 тритам. Вычислим значение вычислительного диапазона по формуле (1), получим значение, равное 239’303’919’038’536’791’602’541, или 3⁴⁸. В двоичной разрядной сетке для отображения полученного диапазона потребуется 78 бит. Табл. 3 содержит сведения о специфике выбора тритовых модулярных оснований, используемых в этом процессе.

Из табл. 2 и 3 можно сделать вывод, что попарно взаимно простые модулярные основания, симметрично расположенные относительно центрального основания, имеют одинаковые значения информационной избыточности, но различаются по знаку, благодаря чему достигается нулевая суммарная информационная избыточность.

В дальнейшем был разработан способ, основанный на выборе попарно взаимно простых оснований модулярной арифметики. Данный способ направлен на уменьшение тривалентного эффекта. Такой выбор способствует значительному сокращению избыточности информации, а в некоторых случаях вообще достичь ее отсутствия.

При сравнении информационной избыточности в табл. 1 с табл. 2 и 3 можно сделать вывод, что при выборе попарно взаимно простых оснований, симметрично расположенных относительно центрального основания, достигается меньшая информационная избыточность. При достижении нулевого тривалентного эффекта также достигается нулевая информационная избыточность.

Тривалентный эффект отображения вычетов по модулю – уникальная особенность, которая проявляется в случае использования регистров в качестве хранилищ и манипуляторов информации.

В период с 1962 по 1963 гг. в стенах Научно-исследовательского института НИИ-37 Зеленоградского научного центра микроэлектроники была разработана опытная модель вычислительной машины ЦВМТ340 А. Эта машина использовала уникальную модулярную арифметику, которая стала основой для дальнейших разработок. В 1963 г. произошла существенная модернизация ЦВМТ340 А, в результате которой появилась ЦВМК340 А –модулярная машина, производство которой было налажено и продолжалось до середины 70-х гг. [7]. Результаты исследований, полученные в ходе разработки вычислительной машины ЦВМК340 А, послужили основой для создания модулярной системы «Алмаз» в 1968 г. Отличительной особенностью этих систем стала реализация двоичной логики с 45-разрядной разрядностью модулярного процессора. Такая архитектура обеспечивала высокую производительность на задачах, характеризующихся повышенной сложностью.

Исследователи разработали новый метод, который позволяет эффективно бороться с тривалентным эффектом – распространенной проблемой в работе регистров. Этот эффект возникает из-за ограничения емкости регистра, что приводит к искажению информации при обработке больших чисел. Суть нового метода заключается в использовании симметричных модулярных оснований, которые представляют собой попарно взаимно простые друг к другу и симметричные относительно степени двойки или тройки. При этом избыточная информация, возникающая при обработке больших чисел, «перераспределяется» между этими основаниями. То есть часть информации, превышающая емкость одного регистра, запоминается в другом регистре, использующем другое основание. Такой подход позволяет избежать потерь информации и минимизировать влияние тривалентного эффекта.

В области анализа и разработки компьютерных систем существует проблема регистрового эффекта и информационной избыточности модулярных процессов.

Рассмотрим эту проблему на примере модулярных процессоров типа 41–50 «Лидер», К340 А, 5Э53, «Алмаз», ЦВМ Т340 А. Характеристики разрядной сетки, в частности ее параметрические значения, представлены в табл. 4 и 5 [7].

В двоичной разрядной сетке для отображения вычислительного диапазона потребуется 42 бита. Табл. 5 содержит исчисленное численное значение информационной избыточности, равное, для этой разрядности модулярного процессора в составе ЦВМ [7].

Информационной избыточностью, равной 78,4 %, обладает двоичный модулярный процессор. В свою очередь, проектируемый троичный модулярный процессор обладает гораздо меньшей избыточностью [7].

В ходе дальнейших исследований был предложен инновационный подход к устранению тривалентного эффекта и перераспределению избыточности в симметричных модулярных базах, что позволило смягчить негативные последствия этого эффекта.

Данный подход опирается на отбор взаимно простых пар модулей, которые будут симметрично расположены от центрального модуля, и обеспечивает возможность использования избыточности одних оснований для того, чтобы представить числовые значения вычетов, которые выходят за пределы емкости разрядов регистра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Патент предлагает техническое решение, которое оптимизирует способ хранения данных в цифровом регистре [8]. Вместо того чтобы размещать группы чисел в однородных блоках одинаковой длины, как это делалось традиционно, данное решение позволяет сократить информационную избыточность. Это достигается за счет более эффективного использования доступного пространства для хранения данных.

Выбор взаимно простых оснований, симметрично расположенных относительно центрального основания, позволяет достигать меньшей информационной избыточности, а в некоторых случаях и нулевой информационной избыточности.

Данное решение не только оптимизирует процесс проектирования, но и делает его более эффективным. Оно позволяет создавать однородные блочные регистры, являющиеся фундаментом для разрядной сетки вычислительной машины, с помощью более совершенных методов. Это достигается благодаря новому подходу к структуре регистра, который упрощает ее, и оптимизированному размещению данных, что позволяет сократить затраты на разработку и производство. В результате процесс проектирования становится более эффективным и экономичным, а создаваемые вычислительные машины – более надежными и эффективными.