Система сигналов на основе кодов Задова – Чу. Часть 1. Автокорреляционные свойства

ВВЕДЕНИЕ

Многофазная дискретная модуляция имеет множество вариантов реализации, часть из которых обладает примечательными корреляционными свойствами, в частности нулевым уровнем боковых лепестков (УБЛ) периодической автокорреляционной функции (АКФ) [1][4]. Для практических задач во многих случаях более важна импульсная (непериодическая, одиночная) автокорреляционная функция, но сигналы с нулевым УБЛ автокорреляционной функции не известны. Однако некоторые сигналы с нулевым УБЛ периодической АКФ имеют достаточно низкий УБЛ и для импульсной АКФ. В связи с этим актуальными являются исследования непериодических корреляционных свойств систем сигналов, имеющих низкий УБЛ и реализуемые с высокой точностью схемы формирования. Целью статьи является исследование корреляционных свойств системы сигналов на основе кодов Задова – Чу, имеющих нулевой уровень боковых лепестков периодической автокорреляционной функции и низкий уровень боковых лепестков автокорреляционной функции.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Аппроксимация квадратичного закона изменения фазы сигнала с линейной частотной модуляцией [5][7] приводит к сигналам на основе кода Чу [8], которые являются многофазными квадратичными последовательностями (МФКП) – последовательностями, в которых начальная фаза изменяется по квадратичному закону порядкового номера элемента.

Фаза n-го радиоимпульса МФКП определяется выражением (1)

(1)

n = 0, … N N N – 1,

где N – число элементов в последовательности;

n – порядковый номер элемента, начиная с нулевого.

Сигналы на основе МФКП ортогональны относительно своих циклически сдвинутых версий и имеют нулевой УБЛ периодической АКФ при небольшом уровне боковых лепестков АКФ. В статье рассмотрены корреляционные свойства одиночных (непериодических) МФКП.

На рис. 1 представлена АКФ МФКП из 64 элементов в последовательности.  

АКФ МФКП имеет ось симметрии при нулевом нормированном сдвиге и дополнительные оси симметрии при сдвигах ±0,5N. Максимальные боковые лепестки АКФ МФКП расположены симметрично на расстоянии ±0,75 от главного максимума. Уровень боковых лепестков автокорреляционной функции МФКП монотонно уменьшается примерно на 5 дБ/окт при увеличении расстояния от главного максимума вплоть до N/4, далее до N/2 он уменьшается примерно на 3 дБ [9][10].

На рис. 2 представлена зависимость УБЛ МФКП (в дБ) от числа элементов в последовательности. 

Уровень максимального бокового лепестка автокорреляционной функции МФКП не зависит от несущей частоты, длительности и периода следования радиоимпульсов, а определяется только числом элементов в последовательности, уменьшаясь (2) на 6 дБ/окт при увеличении N:

   дБ., (2)

Несущая частота влияет лишь на тонкую структуру сигнала (положение спектра на оси частот), длительность радиоимпульсов влияет на ширину главного максимума АКФ, период следования определяет наличие и величину нулевых промежутков между боковыми лепестками, распределение и величина которых определяется исключительно начальными фазами радиоимпульсов. Известны многофазные (3) последовательности (коды) Задова – Чу [11]:

(3)

n = 0, … N – 1,

где q – целое число, взаимно простое с N.

Примечательность сигналов на основе кодов Задова – Чу состоит в большом объеме различных вариантов [12][13]: для данного числа элементов в последовательности N существует N₁ вариантов реализации, определяемых количеством взаимно простых с N чисел q. Следовательно для любого числа элементов в последовательности N существует система из N₁ сигналов.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

В таблице в качестве примера представлено количество N₁ взаимно простых чисел для последовательностей длиной от 5 до 55 элементов.  

Для практического использования системы сигналов на основе кодов Задова – Чу требуется поиск таких последовательностей, для которых, с одной стороны, число вариантов N₁ реализации будет максимально большим, с другой стороны, корреляционные свойства максимального их числа будут хорошими (максимальный УБЛ АКФ будет больше требуемого порогового значения).

Максимальное количество взаимно простых чисел N₁ получается для последовательностей, состоящих из простого числа элементов (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, и т. д.):

N₁ = N – 1.

Для четного числа элементов число взаимно простых чисел в среднем небольшое (N₁ ≈ 0,5N), для нечетного – больше (0,5N ≤ N₁ ≤ 0,86N).

Корреляционные свойства сигналов на основе кодов Задова – Чу для разных значений параметра q, который определяет скорость изменения фазы (3), изучены еще в недостаточной степени.

На рис. 3 представлены законы изменения фазы сигналов на основе кодов Задова – Чу из 32 элементов для трех значений параметра q (1, 3, 5), а на рис. 4 – эти же зависимости, приведенные к интервалу 0/360 с учетом периодичности гармонических функций.

Если при разных значениях параметра q качественные отличия исходных законов изменения фазы (3) сигналов на основе кодов Задова – Чу (рис. 3) относительно незначительны, то после преобразования фазы (4) к интервалу 0/360 (рис. 4) эти отличия становятся существенными, причем при увеличении числа элементов N в последовательности отличия нарастают. 

  (4)

где Е [x] – целая часть числа х.

В процессе моделирования установлено, что для различных значений параметра q кода Задова – Чу существенно изменяется структура АКФ, совпадая при двух значениях параметра (q = 1 и q = N – 1) с АКФ кода Чу.

На рис. 5 представлена зависимость УБЛ АКФ сигналов на основе кодов Задова – Чу из 32 элементов от параметра q. Как видно, взаимно простой с N = 32 параметр q принимает в данном случае исключительно нечетные значения.

В среднем УБЛ АКФ для разных значений параметра q имеет значительный разброс, принимая минимальные значения для крайних значений взаимно простых чисел (q = 1 и q = –1). По результатам моделирования установлено, что для любого числа элементов в последовательности имеются значения параметра q, при которых УБЛ достаточно высокий (около –10 дБ). 

На рис. 6 представлена зависимость УБЛ сигналов на основе кодов Задова – Чу в зависимости от параметра q для последовательностей длиной от 5 до 16 элементов.

Анализ приведенных зависимостей демонстрирует нерегулярность структуры (отсутствие некоторых точек означает, что для данного числа элементов последовательности N текущее число q не является с ним взаимно простым). Для крайних значений (q = 1 и q = N – 1) УБЛ принимает значения, аналогичные сигналам на основе кода Чу.

На рис. 7 представлены зависимости числа взаимно простых с N числа элементов (синяя), числа функций с УБЛ АКФ больше –15 дБ (оранжевая), числа функций с УБЛ АКФ больше –18 дБ (серая), числа функций с УБЛ АКФ больше –21 дБ (желтая) в интервале от 210 до 260 элементов последовательности. 

Наилучшие результаты (наибольшее число функций с минимальным уровнем боковых лепестков автокорреляционной функции) получаются, когда число элементов в последовательности N является простым числом, средние результаты соответствуют нечетному числу элементов в последовательности и максимальный УБЛ получается при четном числе элементов в последовательности.

На рис. 8 представлены аналогичные рис. 7 зависимости нормированные относительно N в интервале от 7 до 4 093 для простого числа элементов в последовательности. 

При сравнении рис. 8 с рис. 2, который соответствует предельным параметрам кода Задова – Чу, следует, что УБЛ АКФ системы сигналов на основе кода Задова – Чу ранжируется по желаемым пороговым значениям: например, около 0,37N₁ сигналов имеют УБЛ АКФ не больше –15 дБ; около 0,14N₁ сигналов имеют УБЛ АКФ не больше –18 дБ и лишь около 0,07N₁ сигналов имеют УБЛ АКФ не больше –21 дБ, хотя предельные значения УБЛ АКФ для отдельных сигналов из таких систем могут достигать –43 дБ.

Приведенные зависимости УБЛ АКФ и корреляционных свойств дают информацию для выбора параметров сигналов из системы сигналов на основе кодов Задова – Чу в качестве системы сигналов либо для выбора определенных вариантов реализации при ограничении на конкретное число элементов в последовательности N.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сложные системы многофазных радиоимпульсных сигналов на основе кодов Задова – Чу обладают идеальными периодическими автокорреляционными свойствами (нулевой УБЛ периодической АКФ) и реализуемыми схемами формирования.
2. Максимальный объем N₁ = N – 1 имеют системы сигналов на основе кодов Задова – Чу, состоящие из простого числа элементов N, меньший объем (в интервале от 0,5Nдо 0,86N) для нечетного (не являющегося простым) числа элементов, еще меньше (около 0,5N) – для четного числа элементов.
3. Для любого числа элементов Nминимальное значения максимального M_max бокового лепестка имеют сигналы с двумя значениями взаимно простого с N параметра q (q = 1 и q = N – 1):

  дБ.

Для таких сигналов уровень боковых лепестков автокорреляционной функции монотонно уменьшается примерно на 5 дБ/окт при увеличении расстояния от главного максимума вплоть до N/4, далее до N/2 он уменьшается примерно на 3 дБ.

4. Уровень максимального бокового лепестка M_maxавтокорреляционной функции (при q = 1 и q = N – 1) не зависит от несущей частоты, длительности и периода следования радиоимпульсов, а определяется только числом элементов в последовательности, уменьшаясь на 6 дБ/окт при увеличении N.
5. Для любого числа элементов N имеются сигналы (при определенных значениях параметра q) с относительно большим уровнем боковых лепестков (–10 дБ).
6. При большом числе элементов в последовательности (N > 31) около 0,37N₁сигналов системы сигналов имеют максимальное значение уровня боковых лепестков –15 дБ, около 0,14N₁ сигналов имеют максимальное значение уровня боковых лепестков –18 дБ и около 0,07N₁ сигналов имеют максимальное значение уровня боковых лепестков –21 дБ.