РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ДЛЯ ШЕСТИЗВЕННОГО РОБОТА-МАНИПУЛЯТОРА

ВВЕДЕНИЕ

Манипуляционные роботы являются основными компонентами современных робототехнических комплексов и, как правило, имеют множество степеней свободы или подвижности. Последнее дает возможность перемещать их исполнительные органы в трехмерном пространстве и выполнять комплексные задачи. Для моделирования перемещения исполнительного механизма робота необходимо решить задачи кинематики и динамики.

Кинематика манипуляторов описывает движение робототехнической системы в трехмерном евклидовом пространстве относительно заданной абсолютной системы координат в зависимости от времени, но без учета сил и моментов, которые порождают такое движение. Иными словами, задача кинематики – это описание пространственного положения манипулятора как функции времени. Кинематическая задача разделяется на прямую и обратную. Прямая задача кинематики служит для определения пространственных координат рабочего инструмента манипулятора по значениям координат и углов его шарнирных соединений.

Обратная позиционная кинематическая задача заключается в определении значений обобщенных координат шарниров манипулятора по заданному положению исполнительного органа.

При динамическом анализе работы необходимо по известным значениям сил и моментов, развиваемых приводами манипулятора, определить параметры движения его звеньев, обратная задача – в том, чтобы по заданным обобщенным координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты. Аналитический подход, используемый для решения задачи кинематики и динамики, является сложным и затратным с точки зрения вычислительных ресурсов.

В статье предложено решение прямой задачи кинематики для промышленного робота-манипулятора FANUC Robot M-20iA/35M [1].

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

FANUC Robot M-20iA/35M представляет собой стационарный шестиосевой робот с подвижной рукой. В качестве исполнительных двигателей применяются электрический сервопривод, шестиступенчатые шарнирные соединения с возможностью переворачиваться назад для увеличения рабочего диапазона и обеспечения максимальной гибкости. На рис. 1 показана конструкция робота и наименование и обозначение осей устройства (рис. 1a) с направлением вращения и пределам вращения по углам. На рис. 1б показано рабочее пространство манипулятора в виде диаграммы движения.

Robot M-20iA/35M является манипулятором с шестью степенями свободы, составные части манипулятора перемещаются в пространстве с помощью шести серводвигателей, которые размещаются в осях вращения (суставах) робота. Каждый роботизированный сустав перемещается в определенном диапазоне углов. На рис. 1а сочленения (joint) звеньев манипулятора обозначены буквами J1...J6. Кинематическая цепь манипулятора состоит из шести кинематических пар вращательного типа, Robot M-20iA/35M работает в ангулярной (антропоморфной) системе координат, представляющей собой сферу (рис. 1б). Основные механические характеристики, а также пределы вращения по осям даны в таблице.

Конструкция роботизированного манипулятора FANUC Robot M-20iA/35M стандартна для своего типа и состоит из неподвижного основания, с которым связана базовая система координат, поворотной стойки, к которой крепятся составные узлы манипулятора и его рабочий орган (концевой эффектор). При такой конструкции концевой эффектор манипулятора имеет возможность занять любое положение в его рабочем пространстве. В твердотельной модели рабочий орган не показан и используется его имитация в виде сферы. В реальном проекте в качестве концевого эффектора предполагается использовать систему технического зрения (СТЗ) для визуализации и обработки объекта сложной формы [2].

Для реализации поставленной цели необходимо рассчитать прямую и обратную кинематическую задачу. Прямая задача связана с определением пространственных координат рабочего органа манипулятора FANUC Robot M-20iA/35M по значением углов поворота его звеньев (шарниров). Обратная задача кинематики – расчет набора обобщенных координат звеньев манипулятора по заданной позиции рабочего органа манипулятора. К изучению кинематики, т. е. к описанию движения манипулятора, можно подойти, рассмотрев две дополняющие друг друга задачи (см. рис. 2).

При решении поставленных задач предполагается, что СТЗ фиксируется на рабочем инструменте робота-манипулятора и позволяет осуществить распознавание искомого объекта, а также определить его месторасположение в пространстве. Дальнейшая обработка полученного с помощью СТЗ изображения позволит обнаружить дефекты анализируемой поверхности (повреждения, разрывы и т. д.). Таким образом, необходимо решить обратную кинематическую задачу – вычисления углов сочленений манипулятора, так, чтобы концевой эффектор занимал определенное положение и ориентацию относительно анализируемой поверхности. В качестве модели сложной поверхности в дальнейшем будет использована модель рабочей лопатки 4-й ступени ротора компрессора низкого давления.

Обратная кинематическая задача может быть решена в численном либо аналитическом виде [3][4]. Аналитический метод решения обратной задачи для многозвенного манипулятора основан на использовании аппарата тригонометрических функций. Преимуществом аналитического метода является получение решения с произвольной точностью, однако получение аналитического решения не всегда возможно для произвольной конструкции манипулятора. Использование численных методов позволяет решить обратную задачу кинематики для тех конструкций манипуляторов, для которых получение точного решения в аналитических выражениях не представляется возможным либо достаточно затруднительно [5].

На рис. 3 схематически показана кинематическая схема манипулятора, а также оси вращения его сочленений. Шесть степеней свободы манипулятора Robot M-20iA/35M обеспечивают эффективное и точное позиционирование его конечного эффектора. Число степеней свободы связано с числом одно­осных вращательных соединений в звеньях манипулятора (ось вращения шестого звена манипулятора, которая отвечает за вращение шпинделя конечного эффектора, не бралась в расчет, т. е. полагалось, что конечный эффектор манипулятора неподвижен) [6]. Звенья манипулятора связаны вращательными кинематическими парами пятого класса (кинематическая схема разомкнута). Направление осей вращения задается в соответствии с правилом правой руки: пальцы правой руки согнуты в направлении вращения, большой палец правой руки направлен в положительном направлении оси. Сочленения (joint) звеньев манипулятора обозначены буквами J1…J5, точка крепления рабочего органа (end-effector) обозначена буквами EE.

Решение прямой задачи кинематики заключается в расчете координат положения и ориентации системы координат, связанной с рабочим органом, при заданном наборе обобщенных координат манипулятора [7]. Для ее решения обычно используют тот или иной метод преобразования координат [8–10]. Основой расчета является построение однородной матрицы преобразования (или матрица манипулятора) T размерностью 4×4, описывающей положение системы координат каждого звена манипулятора относительно системы координат предыдущего. Матрицу T можно представить как блочную матрицу вида:

(1)

где R_3×3 – матрица поворота размерностью 3×3;

p_3×1 – матрица 3×1, задающая положение вектора начала повернутой системы координат отдельного звена относительно абсолютной;

f_1×3 – матрица размерностью 1×3, задающая преобразование перспективы;

1×1 – глобальный масштабирующий множитель (глобальное сжатие или расширение координат).

Система координат OXYZ фиксирована в трехмерном пространстве и принята за абсолютную. В качестве абсолютной системы выступает центр неподвижного основания робота. Система координат, которая вращается относительно абсолютной и физически рассматривается как связанная система координат, обозначается OUVW. Система OUVW жестко связана с твердым телом (сочленениями манипулятора) и движется вместе с ним. Подматрица p_3×1 – однородная матрица преобразования – задает параллельный перенос системы координат OUVW относительно абсолютной системы OXYZ на вектор p̂ = (p_x , p_y , p_z , 1)^T. Глобальный масштабирующий множитель для роботов-манипуляторов принимается равным единице [4]. Матрица f_1×3, задающая преобразование перспективы, для универсального манипулятора состоит из нулевых элементов. Отличные от нуля значения матрицы f_1×3 используются в задачах машинного зрения. Матрицу поворота R_3×3 можно определить как матрицу преобразования трехмерного вектора положения в евклидовом пространстве, переводящую его из повернутой (связанной со манипулятора) системы отсчета OUVW в абсолютную, неподвижную, систему координат OXYZ. Матрицы элементарных поворотов по осям координат R_{x, α}, R_{y, φ} и R_{z, θ} имеют следующий вид:

(2)

где x, y, z – оси, вокруг которых осуществляется поворот;

α, φ, θ – углы поворота.

Однородная матрица композиции преобразований манипулятора (1) может быть получена путем перемножения однородных матриц элементарных поворотов и сдвигов для каждого звена:

(3)

где n – число подвижных звеньев;

i – номер звена.

Для кинематической схемы манипулятора FANUC Robot M-20iA/35M (см. рис. 2а) число подвижных звеньев n = 6, все сочленения вращательного типа. Сдвиг по осям координат каждого последующего звена относительно предыдущего показан на схеме в направлениях соответствующих осей. Решение прямой задачи кинематики для шестизвенного манипулятора является вопросом вычисления матрицы с помощью последовательного перемножения шести смежных матриц . Однородные матрицы преобразований для каждого сочленения в соответствии со схемой (см. рис. 2а) будут иметь следующий вид:

Однородная матрица преобразования для конечного эффектора манипулятора (матрица ) состоит из единичной матрицы с нулевым сдвигом по координатам [11]. Это объясняется тем, что для решения задачи, поставленной в статье, не требуется учитывать вращение шпинделя конечного эффектора. Результирующая, единственная однородная матрица решения прямой задачи кинематики манипулятора FANUC Robot M-20iA/35M:

. (4)

Аналитическое выражение матрицы манипулятора имеет достаточно громоздкий вид и в статье не приводится. Однако полученное математическое выражение (4) используется в блочной модели для проверки правильности расчетов.

Для анализа траектории движения манипулятора и проверки правильности вычисления результирующей матрицы манипулятора использовалась система SIMULINK системы MATLAB. Твердотельная модель манипулятора FANUC Robot M-20iA/35M разработана с использованием CAD-системы (SolidWorks 3D CAD Design Software). При анализе динамики движения использовался гибридный подход, заключающийся в импортировании модели манипулятора в специализированный пакет расширения SimMechanics [12]. Данный пакет служит для моделирования и расчета многодельных пространственных механизмов; в частности, SimMechanics широко используется для решения задач прямой и обратной кинематики и динамики роботов. Блок-схема импорта модели показан на рис. 4, сам механизм импорта подробно описан в [12][13]. Для импорта модели манипулятора в систему MATLAB использовалась утилита SimScape Multibody Link, которая преобразует данные механической системы из CAD-системы в приложение физического моделирования SimScape Multibody. Утилита SimScape Multibody Link генерирует два файла. Первый файл (*.stl) содержит информацию о геометрии твердотельной модели, во втором файле (*.xml) содержится информация о сопряжении деталей в CAD-сборке и их физических характеристиках (моменты инерции, масса и объем). На основе двух полученных файлов генерируется блочная Simulink-модель (файл *.slx) со связями и сопряжениями в системе SimMechanics [14].

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Имитационная модель манипулятора FANUC Robot M-20iA/35M, импортированная в систему Simulink/SimScape Multibody, представлена на рис. 5.

Твердотельные элементы манипулятора (блоки M_20iA35M_J1…J5) в блочной модели соединяются между собой и с неподвижным основанием (блок M_20iA35M_base) при помощи сочленений (блоки REVOLUTE_J1…J5 на рис. 5). Блоки REVOLUTE_J1…J5 обеспечивают одну вращательную степень свободы. При реализации как прямой, так и инверсной кинематики сочленения манипулятора должны вращаться в некоторых пределах, ограничения вращения сочленений манипулятора определяются только физическими пределами изменения углов θ_i для каждого из них. Пределы изменения углов для FANUC Robot M-20iA/35M даны в таблице и задаются в модели как параметры блоков REVOLUTE_J1…J5 (параметр сonstraints-блоков). На вход блоков REVOLUTE_J1…J5 подается внешний сигнал управления, который соответствует величине угла поворота для каждого из сочленений. Данные сигналы генерирует блок J1…J5 ANGLE’S.

На рис. 6 показана твердотельная модель манипулятора FANUC Robot M-20iA/35M при симуляции перемещения его рабочего органа в окне Mechanics Explorer системы Simulink. Точка, которая соответствует положению конечного эффектора манипулятора и координаты которой отслеживаются, показана в окне Mechanics Explorer в виде маркера (на рис. 6 в системе Mechanics Explorer маркер изображен в виде сферы).

На рис. 6 показано положение конечного эффектора манипулятора для углов сочленений θ₁ = 0, θ₂ = 45, θ₃ = 65, θ₄ = 0, θ₅ = 0. Шестой угол и шестая степень свободы отвечают за вращение вокруг своей оси самого конечного эффектора. В связи с тем что СТЗ крепится к конечному эффектору манипулятора, для получения изображения анализируемой поверхности детали не требуется вращение камеры вокруг своей оси, поэтому принималось, что конечный эффектор неподвижен. Это упростит аналитическое выражения матрицы манипулятора , так как матрица преобразований для конечного эффектора не будет содержать тригонометрических функций. В блочной модели (рис. 5) положение эффектора, его координаты относительно неподвижной системы отчета отслеживались блоком XYZ_EE. Блок выводит координаты X, Y и Z в зависимости от заданных углов сочленений. Так, для заданных углов сочленений θ₁ = 0, θ₂ = 45, θ₃ = 65, θ₄ = 0 и θ₅ = 0 координаты конечного эффектора после проведения моделирования будут [ 0,5392;0;0,8984]. Решение прямой задачи с использованием матрицы манипулятора (4) в среде MATLAB дает аналогичные значения координат конечного эффектора. На рис. 7 показано аналитическое и численное решение. Красным маркером выделены значения, полученные для вышеобозначенных углов θ₁… θ_5.

Для получения численного результата при задании значений углов для матрицы манипулятора использовались среда MATLAB и визуальный редактор Live Editor [15]. В окно Live Editor в виде исполняемого скрипта вносились аналитические выражения для матрицы элементарных поворотов по осям координат (выражение 2) и конечной матрицы манипулятора (выражение 4). Значение углов поворота каждого шарнира (θ₁… θ₅) задавались как константы. Результирующая матрица манипулятора и ее аналитическое выражение вычислялись как произведение матриц отдельных звеньев. В результате работы скрипта в окне Live Editor отображается аналитическое выражение матрицы , а также значение координат X, Y, Z конечного эффектора FANUC Robot M-20iA/35M (на рис. 7 полученные координаты выделены красным).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе решена прямая кинематическая задача с применением гибридного подхода моделирования манипулятора FANUC Robot M-20iA/35M с шестью степенями свободы. Полученное аналитическое решение матрицы манипулятора позволяет для каждого момента времени определить положение его исполнительного органа. В дальнейшем предложенная блочная Simulink-модель может быть дополнена и усовершенствована для учета ориентации конечного эффектора манипулятора при решении задачи инверсной кинематики.