Система сигналов на основе кодов Задова – Чу. Часть 2. Взаимнокорреляционные свойства

ВВЕДЕНИЕ

Система сигналов принципиально отличается от набора разнотипных сигналов, поскольку объединяет совокупность сигналов с определенной общностью параметров, но в то же время проявляющих ярко выраженные отличные свойства. Преимущества использования системы сигналов по сравнению с сигналами разного типа состоит в определенных предсказуемых перекрестных корреляционных связях, определяемых взаимнокорреляционными функциями (ВКФ). В связи с этим актуальными являются исследования по поиску системы сигналов с максимальным числом составляющих и хорошими свойствами перекрестной корреляции. Для многоканальных систем электрической связи предпочтительными являются сигналы с минимальным уровнем ВКФ. Целью статьи является исследование взаимнокорреляционных свойств системы сигналов на основе кодов Задова – Чу, имеющих нулевой уровень боковых лепестков периодической автокорреляционной функции и низкий уровень боковых лепестков автокорреляционной функции.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Рассмотрим систему многофазных сигналов [1][7] на основе кода Задова – Чу с нулевым уровнем боковых лепестков (УБЛ) периодической автокорреляционной функции (АКФ). Фаза таких сигналов (1) изменяется по квадратичному или линейно-квадратичному закону.

   (1)

n = 0, … N N – 1,

где N – число элементов в последовательности;

n – порядковый номер элемента, начиная с нулевого;

q – целое число, взаимно простое с N.

Примечательность сигналов на основе кодов Задова – Чу состоит в большом объеме различных вариантов: для данного числа N элементов в последовательности существует N₁ вариантов реализации, определяемых количеством взаимно простых с N чисел q.

В табл. 1 представлены наборы взаимно простых чисел для последовательностей с разным числом элементов (жирным курсивом выделены варианты, имеющие простое число элементов последовательности N). 

Эффективность системы сигналов на основе кода Задова – Чу состоит в использовании последовательностей с таким числом элементов N, для которых, с одной стороны, количество вариантов N₁ реализации будет максимально большим, а с другой стороны, взаимнокорреляционные свойства максимального их числа будут хорошими (максимальный уровень ВКФ будет меньше установленного порогового значения). Эти два критерия сужают число сигналов относительно потенциально возможного, что связано с величиной установленного порогового значения, диктуемого областью использования системы сигналов.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

В качестве примера на рис. 1 для сигнала на основе кода Задова – Чу из 13 элементов изображены АКФ (q = 1) и ВКФ (q₁ = 1 и q₂ = 5). 

Из анализа приведенных зависимостей следует, что для системы сигналов на основе кодов Задова – Чу автокорреляция (УБЛ АКФ –17,3 дБ) получается существенно лучше взаимокорреляции (уровень ВКФ –9,1 дБ). АКФ имеет симметричный относительно нулевого сдвига и более регулярный характер по сравнению с ВКФ, причем при сдвиге на 12 элементов уровни АКФ и ВКФ численно совпадают, что доказывается в [8] при обосновании коэффициента эффективности радиоимпульсных последовательностей.

Анализ корреляционных и взаимнокорреляционных характеристик системы сигналов на основе кодов Задова – Чу выявил необходимость разделения системы сигналов на четыре категории в зависимости от числа элементов N в последовательности:

– простые числа;

– нечетные числа за исключением простых;

– четные числа, относящиеся к ряду 2ⁿ, n = 1, 2, 3, 4, …;

– четные числа за исключением чисел, относящихся к ряду 2ⁿ, n = 1, 2, 3, 4, …

Для иллюстрации этого в табл. 2–5 представлены УБЛ АКФ и уровень ВКФ:

N = 13 – простое число;

N = 14 – четное число, не относящееся к 2ⁿ;

N = 15 – нечетное число, не относящееся к простым;

N = 16 – четное число, относящееся к 2ⁿ (n = 4). 

Максимально большое количество взаимно простых чисел N₁ получается для последовательностей, состоящих из простого числа элементов (3, 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.):

N₁ = N – 1.

В табл. 2 приведены УБЛ АКФ и уровень ВКФ последовательности из 13 элементов (числа по главной диагонали соответствуют УБЛ АКФ, выше главной диагонали – уровень ВКФ).

Из табл. 2. следует, что наилучшие корреляционные свойства (значения на главной диагонали) имеют сигналы с q = 1 и q = 12. На рис. 2 изображена гистограмма распределения максимальных значений уровень ВКФ для последовательности из 13 элементов (УБЛ АКФ для q = 1 при этом составляет –17,3 дБ). 

В табл. 3 приведены УБЛ АКФ и уровень ВКФ последовательности из 14 элементов (четное число). 

На рис. 3 изображена гистограмма распределения максимальных значений уровня ВКФ для последовательности из 14 элементов (УБЛ АКФ для q = 1 при этом составляет –17,8 дБ).

Сравнение рис. 3 и 2 показывает лучшие взаимнокорреляционные свойства для простого числа 13 (гистограмма при этом расположена левее – в области меньших значений УБЛ).

В табл. 4 приведены УБЛ АКФ и уровень ВКФ последовательности из 15 элементов (нечетное число, не являющееся простым). 

На рис. 4 изображена гистограмма распределения максимальных значений уровня ВКФ для последовательности из 15 элементов (УБЛ АКФ для q = 1 при этом составляет –18,3 дБ).

Особенностью гистограммы для 15 элементов в последовательности является значительный удельный вес сигналов с достаточно большим уровнем ВКФ (–7 дБ и –5 дБ).

В табл. 5 приведены УБЛ АКФ и уровень ВКФ последовательности из 16 элементов. 

На рис. 5 изображена гистограмма распределения максимальных значений уровня ВКФ для последовательности из 16 (16 = 2⁴) элементов (УБЛ АКФ для q = 1 при этом составляет –18,3 дБ).  

Особенностью гистограммы для 16 элементов в последовательности является значительный удельный вес сигналов (42,8 %) с очень большим уровнем ВКФ (–6 дБ и –3 дБ).

Анализ приведенных таблиц и гистограмм показывает, что наилучшие взаимнокорреляционные свойства системы сигналов на основе кода Задова – Чу (максимальное смещение максимума гистограммы влево – в сторону минимальных боковых лепестков и минимальное наличие остатков с большим уровнем боковых лепестков справа) наблюдается для последовательностей с числом элементов N, являющихся простым числом. Наихудший результат показывают последовательности с четным числом элементов, представляющим собой N = 16 = 2⁴.

С ростом числа элементов в последовательности гистограммы распределения максимального уровня ВКФ становятся более регулярными одномодовыми (для нечетного числа элементов в последовательности N) или многомодовыми (для четного числа элементов в последовательности N). На рис. 6 изображена распределения максимальных значений уровня ВКФ для большого числа элементов в последовательности (простое число 257). 

Максимум гистограммы максимальных значений УБЛ ВКФ расположен правее на 9 дБ относительно координаты УБЛ АКФ (–30,4 дБ).

Приведенные зависимости УБЛ ВКФ и корреляционных свойств дают информацию для выбора параметров сигналов из системы сигналов на основе кодов Задова – Чу в качестве системы сигналов, либо для выбора определенных вариантов реализации при ограничении на конкретное число элементов в последовательности N.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сложные системы многофазных радиоимпульсных сигналов на основе кодов Задова –Чу обладают идеальными периодическими автокорреляционными свойствами (нулевой УБЛ периодической АКФ) и реализуемыми схемами формирования.
2. Максимальный объем N₁ = N – 1 имеют системы сигналов на основе кодов Задова –Чу при простом числе элементов N, меньший объем (в интервале от 0,5N до 0,86N) при нечетном (не являющимся простым) числе элементов, еще меньше (около 0,5N) при четном числе элементов.
3. Минимальный уровень взаимной корреляции демонстрируют системы сигналов на основе кодов Задова –Чу при простом числе элементов N, однако его величина превышает уровень боковых лепестков автокорреляционных функций сигналов, взаимная корреляция которых рассматривается.
4. Представленные результаты могут быть полезными при выборе системы сигналов многоканальной системы связи, поскольку такие сигналы могут передаваться в общей полосе частот и одновременно по времени, но будут разделены на приемной стороне при согласованной обработке.